Seminorma

In algebra lineare, una seminorma è una generalizzazione del concetto di norma che, a differenza di quest'ultima, può assegnare lunghezza zero anche ad un vettore diverso da zero.

La nozione di seminorma è utilizzata in vari ambiti dell'analisi funzionale. Una famiglia numerabile di seminorme, per esempio, consente di indurre una topologia su uno spazio di Fréchet.

Definizione

Una seminorma definita su uno spazio vettoriale ${\displaystyle X}$ sul campo ${\displaystyle \mathbb {K} }$, che può essere quello dei numeri reali o complessi, è una funzione:

${\displaystyle {\begin{matrix}\|\cdot \|:&X&\longrightarrow &[0,+\infty )\\&x&\mapsto &\|x\|\end{matrix}}}$

che verifica la condizione di omogeneità:

${\displaystyle \|\lambda x\|=|\lambda |\|x\|\qquad \forall \lambda \in \mathbb {K} }$

e la disuguaglianza triangolare:^[1]

${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\qquad \forall x,y\in X}$

Spazio localmente convesso

Uno spazio vettoriale topologico ${\displaystyle X}$ nel quale è definita una famiglia ${\displaystyle P}$ di seminorme è uno spazio localmente convesso se:

${\displaystyle \cap _{p\in P}\{x\in X|p(x)=0\}=\{0_{X}\}}$

Uno spazio localmente convesso è infatti definito come uno spazio vettoriale ${\displaystyle X}$ nel quale è definita una famiglia di seminorme ${\displaystyle \{\|\cdot \|_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$. La topologia naturale che caratterizza uno spazio localmente convesso è la topologia più debole tale per cui le seminorme della famiglia sono funzioni continue, e continua è l'operazione di addizione.

Una base di intorni del punto ${\displaystyle x_{0}}$ per tale topologia si ottiene definendo per ogni sottoinsieme finito ${\displaystyle B}$ di ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle U_{B,\varepsilon }(x_{0})=\{x\in V:\|x-x_{0}\|_{\alpha }<\varepsilon \ \alpha \in B\}\qquad \forall \epsilon >0}$

Si dimostra che se uno spazio localmente convesso è metrizzabile, allora è possibile definire una topologia generata da una famiglia numerabile di seminorme ed il punto 0 ha una base numerabile di intorni.^[2] Uno spazio localmente convesso completo e metrizzabile è detto spazio di Fréchet.^[3]

Note

1. Reed, Simon, Pag. 125.
2. Reed, Simon, Pag. 131.
3. Reed, Simon, Pag. 132.

Bibliografia

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
• (EN) Walter Rudin, Functional Analysis, 2ª ed., New York, McGraw-Hill inc., 1991, ISBN 0-07-054236-8.

Voci correlate

• Distanza (matematica)
• Norma (matematica)
• Spazio di Fréchet
• Spazio localmente convesso
• Topologia operatoriale

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Seminorma, su MathWorld, Wolfram Research.

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