Numero palindromo

Un numero è palindromo quando le sue cifre, se scritte in una particolare base, rappresentano lo stesso valore sia che siano lette da destra che da sinistra.

Stando alla sua definizione, il concetto di palindromicità di un numero viene applicato solo nell'insieme dei numeri interi, ed inoltre il numero preso in considerazione può essere scritto in qualsiasi base.

Sia n un numero intero e sia a₀a₁a₂...a_k la sua rappresentazione in cifre in una certa base b ≥ 2 (con a₀ ≠ 0). Allora n è palindromo se e solo se per ogni intero 0≤i≤k si ha a_i=a_k-i

Un esempio di numero palindromo può essere:

12345654321

si può notare infatti che esso è simmetrico rispetto al suo centro:

12345\ 6\ 54321

quindi vale la definizione.

Se si studia il numero dei numeri palindromi scritti in base 10 ed inferiori ad una certa potenza di 10 ci si può accorgere che esiste una certa regolarità

Tutti i numeri con una sola cifra sono palindromi, quindi vi sono 10 numeri palindromi minori di 10¹.
I palindromi con due cifre sono nove (in effetti i multipli di 11 minori di 100), quindi esistono 19 numeri palindromi minori di 10².
Esistono 90 palindromi con 3 cifre quindi 109 palindromi minori di 10³.
I palindromi minori di 10⁴ sono 199.

Se si prosegue con questo ragionamento incrementando le potenze di dieci si può ottenere la successione^[1]:

10,\,19,\,109,\,199,\,1099,\,1999,\,10999,\,19999,\,109999,\,199999,\,1099999,\,...

La tabella seguente indica il numero di numeri palindromi minori di una certa potenza di dieci che possiedono una certa caratteristica

	10⁰	10¹	10²	10³	10⁴	10⁵	10⁶	10⁷	10⁸	10⁹	10¹⁰
n naturale	2	10	19	109	199	1099	1999	10999	19999	109999	199999
n pari	1	5	9	49	89	489	889	4889	8889	48889	88889
n dispari	1	5	10	60	110	610	1110	6110	11110	61110	111110
n quadrato perfetto	2	4		7		14	15	20		31
n cubico	2	3		4	5			7			8
n primo (vedi anche: Primo palindromo)	0	4	5	20		113		781		5953
n privo di quadrati	0	6	12	67	120	675	1200	6821	12160	+	+
n non privo di quadrati (μ(n)=0)	2	4	7	42	79	424	799	4178	7839	+	+
n quadrato perfetto con radice prima	0	2		3		5
n con un numero pari di fattori primi distinti (μ(n)=1)	0	2	6	35	56	324	583	3383	6093	+	+
n con un numero dispari di fattori primi distinti (μ(n)=-1)	0	4	6	32	64	351	617	3438	6067	+	+
n pari con un numero dispari di fattori primi	0	1	2	9	21	100	180	1010	6067	+	+
n pari con un numero dispari di fattori primi distinti	0	3	4	21	49	268	482	2486	4452	+	+
n dispari con un numero dispari di fattori primi	0	3	4	23	43	251	437	2428	4315	+	+
n dispari con un numero dispari di fattori primi distinti	0	4	5	28	56	317	566	3070	5607	+	+
n pari, non quadrato perfetto, con un numero pari di fattori primi distinti	0	1	2	11	15	98	171	991	1782	+	+
n dispari, non quadrato perfetto, con un numero pari di fattori primi distinti	0	1	4	24	41	226	412	2392	4221	+	+
n dispari con esattamente due fattori primi	0	1	4	25	39	205	303	1768	2403	+	+
n pari con esattamente 2 fattori primi	0	2	3	11		64		413		+	+
n pari con esattamente 3 fattori primi	0	1	3	14	24	122	179	1056	1400	+	+
n pari con esattamente 3 fattori primi distinti	0	0	1	18	44	250	390	2001	2814	+	+
n dispari con esattamente 3 fattori primi	0	0	1	12	34	173	348	1762	3292	+	+
n numero di Carmichael	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
n per il quale σ(n) è palindromo	1	6	10	47	114	688	1417	5683	+	+	+

Esistono vari numeri palindromi che sono anche potenze di altri numeri. Attualmente sono conosciuti solo numeri palindromi che possono essere espressi con una potenza di esponente 2, 3 o 4:

I primi quadrati perfetti palindromi sono: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, ...^[2]
I primi numeri palindromi che possiedono una radice cubica intera sono: 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, ...^[3]
I primi numeri palindromi esprimibili con una potenza di esponente 4 sono: 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001, ...^[4]

G. J. Simmons e D. Rawlinson congetturano che non esistano palindromi diversi da 0 e 1 esprimibili con potenze di esponente maggiore di 4^[5].

L'unico numero non palindromo conosciuto il cui cubo è un palindromo è 2201.

In base 10 una formula generatrice di parecchi numeri palindromi è la successione

a(n)=(10^{n}+1)^{k}{\mbox{ con }}n,k\in \mathbb {N}

Per esempio con k=3 e n=4 si ottiene:

(10^{4}+1)^{3}=1000300030001

Questa formula però non genera sempre numeri palindromi a partire da k>4. Infatti, se proviamo con k=5 ed n=2, otteniamo:

(10^{2}+1)^{5}=10510100501

che è evidentemente un numero non palindromo. Inoltre non tutti i numeri palindromi vengono generati da questa formula, in effetti i numeri di una sola cifra sono palindromi ma non vengono generati.

Un repunit è un numero scritto utilizzando esclusivamente la cifra 1. In base 10 è possibile generare un numero palindromo tramite moltiplicazione di due numeri repunit.

Se prendiamo due repunit tali che il prodotto del numero delle cifre del primo per il numero delle cifre del secondo è minore o uguale di 100 e li moltiplichiamo tra di loro otteniamo un numero palindromo.

Per esempio il numero 111 111 111 111 possiede 12 cifre, il numero 1 111 111 possiede 7 cifre, 7×12=84≤100 quindi: