Forma di Killing

In matematica, la forma di Killing è una forma bilineare simmetrica che svolge un ruolo fondamentale nella teoria delle algebre di Lie e in quella dei gruppi di Lie. Prende il nome da Wilhelm Killing, che per primo ne diede menzione. Il primo a introdurla nella teoria delle algebre di Lie è stato Élie Cartan.

Definizione

Sia ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ un'algebra di Lie di dimensione finita su un campo ${\displaystyle K}$. Ogni elemento ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ definisce l'endomorfismo aggiunto ${\displaystyle {\textrm {ad}}(x)}$, definito come

${\displaystyle {\textrm {ad}}(x)(y):=[x,y].}$

Poiché ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ è di dimensione finita, la traccia della composizione di due endomorfismi è una forma bilineare simmetrica. La forma di killing ${\displaystyle B(x,y)}$ su ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ è quindi definita come

${\displaystyle B(x,y):={\textrm {Tr}}({\textrm {ad}}(x){\textrm {ad}}(y)).}$

Bibliografia

• Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4

Voci correlate

• Criterio di Cartan

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