In elettromagnetismo , le equazioni di Jefimenko descrivono il comportamento del campo elettrico e del campo magnetico in funzione di sorgenti arbitrarie dipendenti dal tempo. Le equazioni, dovute a Oleg D. Jefimenko , sono pertanto soluzione delle equazioni di Maxwell per una distribuzione assegnata di cariche e correnti al tempo ritardato, e permettono di generalizzare la legge di Coulomb e la legge di Biot-Savart .[1] [2]
Il vettore
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
è la posizione in cui viene calcolato il campo rispetto alla sorgente, integrata rispetto alla variabile
r
′
{\displaystyle \mathbf {r'} }
.
Le equazioni di Jefimenko forniscono il campo elettrico ed il campo magnetico prodotti da una generica distribuzione di carica
ρ
{\displaystyle \rho }
o corrente elettrica
J
{\displaystyle \mathbf {J} }
dipendente dal tempo, ed hanno la seguente forma:[3]
E
(
r
,
t
)
=
1
4
π
ε
0
∫
[
(
ρ
(
r
′
,
t
r
)
|
r
−
r
′
|
3
+
1
|
r
−
r
′
|
2
c
∂
ρ
(
r
′
,
t
r
)
∂
t
)
(
r
−
r
′
)
−
1
|
r
−
r
′
|
c
2
∂
J
(
r
′
,
t
r
)
∂
t
]
d
3
r
′
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \left[\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right)(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
B
(
r
,
t
)
=
μ
0
4
π
∫
[
J
(
r
′
,
t
r
)
|
r
−
r
′
|
3
+
1
|
r
−
r
′
|
2
c
∂
J
(
r
′
,
t
r
)
∂
t
]
×
(
r
−
r
′
)
d
3
r
′
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
dove
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
è un punto all'interno della distribuzione di carica ,
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
è un punto nello spazio e:
t
r
=
t
−
|
r
−
r
′
|
c
{\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}
è il tempo ritardato. Le espressioni per i campi nella materia
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
e
H
{\displaystyle \mathbf {H} }
hanno la stessa forma.[4]
Si possono derivare le equazioni di Jefimenko a partire dai potenziali ritardati
φ
{\displaystyle \varphi }
ed
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
,[5] che hanno la forma:
φ
(
r
,
t
)
=
1
4
π
ε
0
∫
ρ
(
r
′
,
t
r
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
A
(
r
,
t
)
=
μ
0
4
π
∫
J
(
r
′
,
t
r
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
{\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\qquad \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\dfrac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
I potenziali sono soluzione delle equazioni di Maxwell , e pertanto sostituendo la loro espressione nella definizione del potenziale elettromagnetico stesso:
E
=
−
∇
φ
−
∂
A
∂
t
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
ed utilizzando la relazione:
c
2
=
1
ε
0
μ
0
{\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}
si possono ottenere le equazioni di Jefimenko rimpiazzando
φ
{\displaystyle \varphi }
ed
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
con i campi
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
e
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
.
Oleg D. Jefimenko, Electricity and Magnetism: An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields , Appleton-Century-Crofts (New-York - 1966). 2nd ed.: Electret Scientific (Star City - 1989), ISBN 978-0-917406-08-9 .
David J. Griffiths, Mark A. Heald, Time-dependent generalizations of the Biot-Savart and Coulomb laws , American Journal of Physics 59 (2) (1991), 111-117.
Oleg D. Jefimenko, Solutions of Maxwell's equations for electric and magnetic fields in arbitrary media , American Journal of Physics 60 (10) (1992), 899-902
Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3