Controimmagine

In matematica, la controimmagine di un sottoinsieme del codominio di una funzione, anche detta immagine inversa, fibra, antiimmagine, retroimmagine o preimmagine, è l'insieme degli elementi del dominio che la funzione associa a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del dominio della funzione.

La controimmagine ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ di un insieme ${\displaystyle U}$ è il sottoinsieme dei punti di ${\displaystyle X}$ che vengono associati a punti di ${\displaystyle U}$ da ${\displaystyle f}$

Definizione

Data una funzione ${\displaystyle f\colon A\to B}$, la controimmagine di un insieme ${\displaystyle B_{1}\subseteq B}$ tramite ${\displaystyle f}$ è un sottoinsieme di ${\displaystyle A}$, indicato con ${\displaystyle f^{-1}(B_{1})}$^[1] tale che ${\displaystyle a}$ appartiene a ${\displaystyle f^{-1}(B_{1})}$ se e solo se ${\displaystyle f(a)}$ appartiene a ${\displaystyle B_{1}}$. In modo equivalente:

${\displaystyle f^{-1}(B_{1}):=\left\{a\in A\left|\right.f(a)\in B_{1}\right\}\subseteq A.}$

Talvolta si considera il seguente insieme, chiamato fibra di ${\displaystyle b}$, la cui notazione è leggermente impropria:

${\displaystyle f^{-1}(b):=\left\{a\in A\left|\right.f(a)=b\right\}\subseteq A.}$

Tali insiemi, che dovrebbero essere più propriamente indicati ${\displaystyle f^{-1}(\{b\})}$, sono di particolare importanza quando le funzioni coinvolte sono funzioni reali; in questo caso vengono anche detti insiemi di livello o curve di livello. In topologia, invece, si chiamano fibre.

Proprietà

Considerata una funzione ${\displaystyle f\colon A\to B}$, valgono le seguenti proprietà:

• ${\displaystyle f^{-1}\left(\mathrm {Im} \,f\right)=f^{-1}{\big (}f(A){\big )}=A.}$

• Se ${\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\subseteq B}$, allora ${\displaystyle f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})\subseteq A.}$

In ${\displaystyle B_{2}}$ potrebbe esserci un elemento ${\displaystyle b}$ che appartiene all'immagine di ${\displaystyle f}$ ma non a ${\displaystyle B_{1}}$.

• La controimmagine dell'unione di due insiemi è l'unione delle due controimmagini. In simboli: ${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2}).}$
  • In generale: ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\bigcup _{i}f^{-1}(B_{i}).}$

• La controimmagine dell'intersezione di due insiemi è l'intersezione delle due controimmagini. In simboli: ${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2}).}$^[2]
  • In generale: ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{i}B_{i}\right)=\bigcap _{i}f^{-1}(B_{i}).}$

• La controimmagine della differenza di due insiemi è la differenza delle due controimmagini. In simboli: ${\displaystyle f^{-1}\left(B_{1}\setminus B_{2}\right)=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2}).}$

• Per ogni ${\displaystyle A_{1}\subseteq A}$ sottoinsieme del dominio, allora ${\displaystyle A_{1}\subseteq f^{-1}{\big (}f(A_{1}){\big )}}$ e l'uguaglianza vale sempre se e solo se la funzione ${\displaystyle f}$ è iniettiva.

Potrebbero esserci elementi del dominio che non stanno in ${\displaystyle A_{1}}$ ma che hanno la stessa immagine di un elemento in ${\displaystyle A_{1}}$. Ovviamente se ${\displaystyle f}$ è iniettiva questo non può succedere.

• Per ogni ${\displaystyle B_{1}\subseteq B}$ sottoinsieme del codominio, allora ${\displaystyle f{\big (}f^{-1}(B_{1}){\big )}\subseteq B_{1}}$ e l'uguaglianza vale sempre se e solo se la funzione ${\displaystyle f}$ è suriettiva.

Potrebbero esserci elementi in ${\displaystyle B_{1}}$ che non appartengono all'immagine di ${\displaystyle f}$. Se però ${\displaystyle f}$ è suriettiva questo non accade.

• Se ${\displaystyle g\colon B\to C}$; e ${\displaystyle C_{1}\subseteq C,}$  allora ${\displaystyle \left(g\circ f\right)^{-1}(C_{1})=f^{-1}\left(g^{-1}(C_{1})\right).}$

Esempi

Sia ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ tale che ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$. Allora ${\displaystyle f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup [1,2].}$