Utente:Grasso Luigi/sandbox4/Algebra geometrica
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L'algebra geometrica (GA) di uno spazio vettoriale è un'algebra su campo, e definisce un'operazione di moltiplicazione detta prodotto geometrico su uno spazio di elementi detti multivettori, che contiene sia scalari e uno spazio vettoriale
.
Matematicamente, un'algebra geometrica si definisce come l'algebra di Clifford di uno spazio vettoriale con una forma quadratica.
Il contributo di Clifford è stato quello di definire un nuovo prodotto, il prodotto geometrico, unificando l'algebra di Grassmann (o esterna o antisimmetrica dotata del prodotto wedge) e l'algebra di Hamilton in una struttura unica. Aggiungendo il duale del prodotto esterno (il "meet") otteniamo l'algebra di Grassmann–Cayley, e una versione conforme di quest'ultimo insieme ad un'algebra di Clifford conforme crea un'algebra geometrica conforme(CGA) che trova applicazione nelle geometrie classiche.[1] In pratica, questi e molte operazioni derivate permettono una corrispondenza di elementi, sottospazi e operazioni dell'algebra ordinaria con interpretazioni geometriche.
Gli scalari e i vettori sono quelli ordinari, e formano sottospazi distinti di una GA. I bivettori forniscono una rappresentazione più naturale delle quantità pseudovettori dell'algebra vettoriale come area orientata, angolo di rotazione orientato, torque, momento angolare, campo elettromagnetico e il vettore di Poynting. Un trivettore fornisce una rappresentazione di un volume orientato, e così via. Un elemento detto blade permette di rappresentare un sottospazio di e le proiezioni ortogonali in questo sottospazio. Le rotazioni e le riflessioni sono rappresentati come elementi. A differenza dell'algebra vettoriale, una GA permette di usare qualsiasi numero di dimensioni e qualsiasi forma quadratica come quella utilizzata in relatività.
Esempi di algebre geometriche applicate alla fisica includono l'algebra spaziotempo (e meno comunemente l'algebra dello spazio fisico) e l'algebra geometrica conforme. Il calcolo geometrico, estensione della GA con le operazioni di differenziazione e integrazione, si utilizza nello studio di altre teorie come l'analisi complessa, la geometria differenziale, e.g. usando l'algebra di Clifford al posto delle forme differenziali. L'algebra geometrica è stata sostenuta, in particolare da David O. Hestenes[2] e Chris Doran[3], come lo strumento matematico preferito per la fisica. I sostenitori affermano che fornisce descrizioni intuitive e compatte in molte aree tra cui la meccanica quantistica e classica, la teoria elettromagnetica e la relatività.[4] GA ha pure applicazioni come strumento di elaborazione in computer grafica[5] e nella robotica.
Il prodotto geometrico fu menzionato per primo da Hermann Grassmann,[6] che era principalmente interessato allo sviluppo dell'algebra esterna strettamente correlata. Nel 1878, William Kingdon Clifford ha notevolmente ampliato il lavoro di Grassmann per formare quelle che sono di solito chiamate algebre di Clifford in suo onore (sebbene fu lo stesso Clifford a chiamarle "algebre geometriche"). Per diversi decenni, le algebre geometriche sono state in qualche modo ignorate, molto eclissate dal calcolo vettoriale sviluppato di recente per descrivere l'elettromagnetismo. Il termine "algebra geometrica" fu approfondito negli anni '60 da Hestenes, che ne ha sostenuto la sua importanza per la fisica relativistica.[7]