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funzione che preserva le operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una trasformazione lineare, detta anche applicazione lineare o mappa lineare, è una funzione lineare tra due spazi vettoriali sullo stesso campo, cioè una funzione che conserva le operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione per uno scalare. In altre parole, una trasformazione lineare preserva le combinazioni lineari. Nel linguaggio dell'algebra astratta, una trasformazione lineare è un omomorfismo di spazi vettoriali, in quanto conserva le operazioni che caratterizzano gli spazi vettoriali.
In analisi funzionale una trasformazione lineare è spesso detta operatore lineare. In tale contesto, particolare importanza rivestono gli operatori lineari continui tra spazi vettoriali topologici, come ad esempio spazi di Banach.
Siano e due spazi vettoriali sullo stesso campo Una funzione è una trasformazione lineare se soddisfa le seguenti proprietà:[1][2]
per ogni coppia di vettori e in e per ogni scalare in La prima proprietà è detta additività, la seconda omogeneità di grado 1.
Equivalentemente, è lineare se "preserva le combinazioni lineari" (principio di sovrapposizione), ossia se:
per ogni intero positivo e ogni scelta dei vettori e degli scalari
Se è una applicazione lineare e e sono i vettori nulli di e rispettivamente, allora:[3]
e togliendo da ambo i membri si ottiene
Sostituendo allo zero una combinazione lineare di vettori linearmente dipendenti si dimostra che un'applicazione lineare iniettiva manda sottoinsiemi del dominio linearmente indipendenti in sottoinsiemi del codominio linearmente indipendenti.[4]
Un'applicazione lineare è descritta completamente attraverso la sua azione sui vettori di una base qualsiasi del dominio.[5] Poiché la scrittura di un vettore in una data base è unica, la linearità dell'applicazione determina l'unicità del vettore immagine.
Un'applicazione lineare biunivoca (o invertibile) è inoltre un isomorfismo tra spazi vettoriali.[6]
Siano e due spazi vettoriali di dimensione finita. Sia una base di e siano vettori di Allora esiste un'unica applicazione lineare da in tale che:[7]
Nel caso non si conosca la forma esplicita dell'applicazione è comunque possibile stabilirne l'esistenza e l'unicità attraverso la conoscenza dell'azione dell'applicazione su un insieme di vettori dati , dei quali si conosce quindi l'immagine. Se l'insieme di vettori è una base del dominio allora l'applicazione è univocamente determinata, mentre se i vettori dati non costituiscono una base ci sono due casi:
L'applicazione esiste (ma non è unica) se e solo se:
Siano e due spazi vettoriali di dimensione finita. Scelte due basi e per e ogni trasformazione lineare da a è rappresentabile come una matrice. Si ponga:
Ogni vettore in è univocamente determinato dalle sue coordinate definite in modo che:
Se è una trasformazione lineare si ha:
Quindi la funzione è determinata dai vettori . Ciascuno di questi è scrivibile come:
La funzione è dunque interamente determinata dai valori di che formano la matrice associata a nelle basi e [8]
La matrice associata è di tipo e può essere usata agevolmente per calcolare l'immagine di ogni vettore di grazie alla relazione seguente:
dove e sono le coordinate di e nelle rispettive basi.
Si nota che la scelta delle basi è essenziale: la stessa matrice, usata su basi diverse, può rappresentare applicazioni lineari diverse.
L'insieme delle applicazioni lineari da in è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale sul campo formato da tutte le funzioni da in infatti:[9]
Nel caso finito-dimensionale, dopo aver fissato delle basi, le operazioni di somma e prodotto di una funzione per uno scalare di applicazioni lineari corrispondono rispettivamente a somma di matrici e moltiplicazione di matrici per uno scalare. Le basi definiscono quindi un isomorfismo tra gli spazi vettoriali delle applicazioni lineari e delle matrici dove e sono le dimensioni rispettivamente di e
Se è lineare, il nucleo di è l'insieme:[10]
mentre l'immagine di è l'insieme:[11]
L'insieme è un sottospazio di , mentre è un sottospazio di . Se e hanno dimensione finita, il teorema della dimensione asserisce che:[12]
Questo teorema fornisce un criterio necessario e sufficiente al fine di stabilire l'esistenza di una trasformazione lineare.
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Un endomorfismo biiettivo di viene chiamato automorfismo di La composizione di due automorfismi è di nuovo un automorfismo, e l'insieme di tutti gli automorfismi di forma un gruppo, il gruppo generale lineare di chiamato o
Se la dimensione di è finita basterà che sia iniettiva per poter affermare che sia anche suriettiva (per il teorema della dimensione). Inoltre l'isomorfismo
fra gli endomorfismi e le matrici quadrate descritto sopra è un isomorfismo di algebre. Il gruppo degli automorfismi di è isomorfo al gruppo lineare generale di tutte le matrici invertibili a valori in
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su uno dei due sottospazi o
dove è il prodotto di e Ogni trasformazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita è essenzialmente di questo tipo: si veda la sezione seguente.
è una mappa -lineare ma non -lineare: infatti la proprietà di omogeneità vale solo per scalari reali.
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