In analisi funzionale la trasformata zeta è una trasformata integrale che permette di trasformare una funzione discreta in una funzione più semplice, utilizzata principalmente nella teoria dei segnali.
Il concetto di trasformata zeta era già noto a Laplace, ma fu reintrodotto nel 1947 da W. Hurewicz come mezzo utile a risolvere equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti.[1]
Il termine "trasformata zeta" fu coniato successivamente, nel 1952, da Ragazzini e Zadeh, ricercatori della Columbia University.[2][3] Il nome potrebbe esser derivato dall'idea che la lettera "z" sia somigliante a una lettera "s" campionata/digitalizzata, ove "s" è la lettera spesso usata per indicare la variabile indipendente nella trasformata di Laplace. Un'altra possibile origine è la presenza della lettera "Z" in entrambi i nomi Ragazzini e Zadeh. Questa nomenclatura diverge dall'usanza adottata in ambito scientifico, in cui si associa un metodo o un teorema col nome del principale sviluppatore. La terza probabile origine risiede nel dominio dei segnali discreti, che è solito essere
o un suo sottoinsieme.
L'espressione della trasformata inversa, che può essere ottenuta utilizzando il teorema integrale di Cauchy, è la seguente:
![{\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz,\qquad n\in \mathbb {N} .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ba050ff0a45b9bb22e551d493d9bcace861c01)
dove
è un percorso antiorario chiuso che è situato nella regione di convergenza di
e circonda l'origine del piano. La formula precedente diventa particolarmente utile quando
ammette un'estensione a tutto il piano complesso, tranne al più un numero finito di singolarità isolate
. Infatti, in tal caso si può fare appello al Teorema dei Residui ed ottenere
![{\displaystyle x[n]=\sum _{j=1}^{\ell }\mathrm {Res} (X(z)\,z^{n-1},z_{j}),\qquad {\mbox{ per ogni }}n\in \mathbb {N} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9327749af4a08389b63822fdddc96e54d84804a9)
Inoltre, nel caso in cui le singolarità isolate
siano dei poli, il calcolo dei residui nella formula precedente risulta particolarmente agevole, usando la formula
![{\displaystyle \mathrm {Res} (X(z)\,z^{n-1},z_{j})={\frac {1}{(m_{j}-1)!}}\,\lim _{z\to z_{j}}{\frac {d^{m_{j}-1}}{dz^{m_{j}-1}}}{\Big (}X(z)\,z^{n-1}(z-z_{j})^{m_{j}}{\Big )}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7b882e597929e497e18f0a5ecb98a594c0dac90)
ove
è l'ordine del polo
.
Un caso di particolare importanza si presenta quando
è la circonferenza unitaria. In tal caso la trasformata zeta inversa assume la forma della trasformata di Fourier discreta inversa:
![{\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .\ }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2954b0389ab96957bccb5a9f89cc7ab4eb51bfed)
Ulteriori informazioni
,
...
| Dominio del tempo
| Dominio Z
| Dimostrazione
| ROC
|
---|
Notazione
|
|
|
| ROC:
|
Linearità
|
|
|
| Almeno la regione di intersezione di ROC1 e ROC2
|
Espansione temporale
|
intero
|
|
|
|
Traslazione temporale
|
|
| ![{\displaystyle Z\{x[n-k]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa0de778b9f396d8a7ab2f4d69e4e026f898c38)
Posto si ha:
![{\displaystyle =z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59013379113960990910b96410a4a8609687649)
essendo se . Da cui:
![{\displaystyle z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}=z^{-k}X(z)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c29ec28fbf38d33c495cdfaeb53976857b1462b0)
| ROC, eccetto se e se ![{\displaystyle k<0\ }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f940371ebb96a263f0b2ce109e12e4d82814594a) |
Segnali periodici |
![{\displaystyle x[n+m]=x[n]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56dd592cf982e0e3f81ad7959fd04b6fd63fd4f) |
![{\displaystyle X(z)={\frac {z^{m}}{z^{m}-1}}\,\sum _{k=0}^{m-1}{\frac {x[k]}{z^{k}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1763cde251f68ad13399c0bee0a7524ac4fe568b) |
|
|
Scalatura nel dominio z
|
|
|
|
|
Inversione temporale
|
|
|
|
|
Coniugazione complessa
|
|
|
| ROC
|
Parte reale
|
|
|
| ROC
|
Parte immaginaria
|
|
|
| ROC
|
Differenziazione
|
|
|
| ROC
|
Convoluzione
|
|
|
| Almeno la regione di intersezione di ROC1 e ROC2
|
Cross-correlazione
|
|
|
| Almeno la regione di intersezione di ROC of e
|
Prima differenza
|
|
|
| Almeno la regione di intersezione di ROC of X1(z) e
|
Accumulazione
|
|
|
|
|
Moltiplicazione
|
|
|
| -
|
Teorema di Parseval
|
|
|
| |
Chiudi
Siano:
![{\displaystyle u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421a23ee8e78e1a635a55f77b90157e36ace10ce)
![{\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbd93ec15d6d9070adb434706fe249b5f944bdc)
Ulteriori informazioni Funzione,
...
Funzione, ![{\displaystyle x[n]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d) | Trasformata Z, ![{\displaystyle X(z)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/727fb275ca22820bf91e526120c4939a1d38a2b0) | ROC |
![{\displaystyle \delta [n]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71bf83f188a8d5c544e4565e7690b4029baed424) | ![{\displaystyle 1\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd1e7984fe6e1b79a26404a8138a6c6ee41a476) | ![{\displaystyle {\mbox{ogni }}z\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac6af3adfff79f65c9586157ef64cca799ef541) |
![{\displaystyle \delta [n-n_{0}]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37420bd43ae13a5c7f300b7e74cae6f08d38929a) | ![{\displaystyle z^{-n_{0}}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f5b9a24bb0fa242c798484709fb64bd0d7f246) | ![{\displaystyle z\neq 0\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a29c974041f3d153d4dbb4e26c10e920180a3d) |
![{\displaystyle u[n]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e693a2911b29e6c8d440d97e46d27760559af7c5) | ![{\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9050d7c9f928a6c74b38f5f9325f8c7b9587d6e1) | ![{\displaystyle |z|>1\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4eb8070ce6a0fa563ba5c9f6155a17519ab211) |
![{\displaystyle \,e^{-\alpha n}u[n]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea4acaa4f561a314f2cb97656a91950895450a99) | ![{\displaystyle 1 \over 1-e^{-\alpha }z^{-1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc52c5168c1c481c49399c14223af4d6eee58931) | ![{\displaystyle |z|>|e^{-\alpha }|\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca17eaa6e789e2f11ea233de00020e23fc4ad388) |
![{\displaystyle -u[-n-1]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ffe6af41d5e73ca723916ce158e69325ab37f0f) | ![{\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9050d7c9f928a6c74b38f5f9325f8c7b9587d6e1) | ![{\displaystyle |z|<1\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c95dae3e83bb6a6b49008723bb115000035a9b) |
![{\displaystyle nu[n]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666189dd08672bcd9366962001fdeb012ef48db6) | ![{\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f0026b0756e35657f4844c1976fc60b85442ec) | ![{\displaystyle |z|>1\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4eb8070ce6a0fa563ba5c9f6155a17519ab211) |
![{\displaystyle -nu[-n-1]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c7bfd00539cf805ba91e15a60b73576194dbd1) | ![{\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f0026b0756e35657f4844c1976fc60b85442ec) | ![{\displaystyle |z|<1\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c95dae3e83bb6a6b49008723bb115000035a9b) |
![{\displaystyle n^{2}u[n]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556ff0a974378872385484fbeadf8bee8da04e97) | ![{\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de02217ac75e887a0eb2bc6d6a0ac972ec9fae7b) | ![{\displaystyle |z|>1\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4eb8070ce6a0fa563ba5c9f6155a17519ab211) |
![{\displaystyle -n^{2}u[-n-1]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc9d247970a92c7c6a69da9b5a272190dadcd24) | ![{\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de02217ac75e887a0eb2bc6d6a0ac972ec9fae7b) | ![{\displaystyle |z|<1\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c95dae3e83bb6a6b49008723bb115000035a9b) |
![{\displaystyle n^{3}u[n]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0458b9d3eaa2c032ea05c85f0b2dc59809e61815) | ![{\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b9fb9e5ba2eb437f939ed2dea8d8227cbf69aa) | ![{\displaystyle |z|>1\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4eb8070ce6a0fa563ba5c9f6155a17519ab211) |
![{\displaystyle -n^{3}u[-n-1]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f66cd02f765990cd569d2cc47dd44cc75bfad0a3) | ![{\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b9fb9e5ba2eb437f939ed2dea8d8227cbf69aa) | ![{\displaystyle |z|<1\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c95dae3e83bb6a6b49008723bb115000035a9b) |
![{\displaystyle a^{n}u[n]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec08f4507612bf171a306727ec543e8b22909a8b) | ![{\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cbd650744a20a2efd51d3338c238254da0b046c) | ![{\displaystyle |z|>|a|\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf6d619756715523fcbf2733c1945001c892c682) |
![{\displaystyle -a^{n}u[-n-1]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8f7594a9aa188a37767ad6cbbcd1c932f5408c) | ![{\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cbd650744a20a2efd51d3338c238254da0b046c) | ![{\displaystyle |z|<|a|\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401c44cf817c78df71c9ab617bcd001832f126dc) |
![{\displaystyle na^{n}u[n]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b15d6e4309b253c58fdf105b270217869762ad) | ![{\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7b1b499b4da04022665607a781eaf8975970f4) | ![{\displaystyle |z|>|a|\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf6d619756715523fcbf2733c1945001c892c682) |
![{\displaystyle -na^{n}u[-n-1]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a7df946d3646eb5c94313eb414edf4c9070d782) | ![{\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7b1b499b4da04022665607a781eaf8975970f4) | ![{\displaystyle |z|<|a|\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401c44cf817c78df71c9ab617bcd001832f126dc) |
![{\displaystyle n^{2}a^{n}u[n]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc9a83f632b9781ec66653e486b9f77fafe3bb0) | ![{\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc3dba480417577b1f9b2f758dadabc0d7201765) | ![{\displaystyle |z|>|a|\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf6d619756715523fcbf2733c1945001c892c682) |
![{\displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85083b09d1b7c73d32bdfcc120bd85c56504b66) | ![{\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc3dba480417577b1f9b2f758dadabc0d7201765) | ![{\displaystyle |z|<|a|\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401c44cf817c78df71c9ab617bcd001832f126dc) |
![{\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u[n]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07538580111cb3bee33a686fa3970039105fee57) | ![{\displaystyle {\frac {z^{2}-z\cos(\omega _{0})}{z^{2}-2z\cos(\omega _{0})+1}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94668f4e9819ef67a6167674b130f496679e444f) | ![{\displaystyle |z|>1\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4eb8070ce6a0fa563ba5c9f6155a17519ab211) |
![{\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u[n]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a4e25fc75ace79158f75ab06339a9b87ce3665) | ![{\displaystyle {\frac {z\sin(\omega _{0})}{z^{2}-2z\cos(\omega _{0})+1}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45df5803aa39f0c1fdac60b9bc2033c61b25e328) | ![{\displaystyle |z|>1\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4eb8070ce6a0fa563ba5c9f6155a17519ab211) |
![{\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a451552ec134261501b282063fca173b531a0ba) | ![{\displaystyle {\frac {z^{2}-az\cos(\omega _{0})}{z^{2}-2az\cos(\omega _{0})+a^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8e3a94da7272abd98a119a730b35137efd2904) | ![{\displaystyle |z|>|a|\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf6d619756715523fcbf2733c1945001c892c682) |
![{\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee7ec057f4c8c7c307f3a58a9091e6e03d91f01d) | ![{\displaystyle {\frac {az\sin(\omega _{0})}{z^{2}-2az\cos(\omega _{0})+a^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cfe82cb26b0701dd933060688f6c4de48a95420) | ![{\displaystyle |z|>|a|\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf6d619756715523fcbf2733c1945001c892c682) |
Chiudi
La trasformata zeta unilatera è la trasformata di Laplace di un segnale campionato in modo ideale con la sostituzione:
![{\displaystyle z\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{sT}\ }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71ac8f35468a0f2e40b0ec10c839c315a579106)
dove
è il periodo di campionamento, con
la frequenza di campionamento (misurata in campioni per secondo o in hertz).
Sia:
![{\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511550196d09cdaa497d7f2b5ac9e106aceb2d0c)
un treno di impulsi e sia:
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b27ebaf4d92179e6dcc5efded59ebc64119dcb)
la rappresentazione tempo-continua del segnale
ottenuto campionando
. La trasformata di Laplace di
è data da:
![{\displaystyle {\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9eb4d86a6798954cac2ecdbb6591f4200daf2c9)
Si tratta della definizione della trasformata zeta unilatera della funzione tempo-discreta
, ovvero:
![{\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf7e6d1a9bf26a3017c79040c80295cb1f2eaa1)
con la sostituzione
. Confrontando le ultime due relazioni si ottiene quindi la relazione tra la trasformata zeta unilatera e la trasformata di Laplace del segnale campionato:
![{\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b444faa074af16c27c43836629181283bc941cc)
Relazione tra il piano s e il piano z
Per quanto detto la variabile s può essere riscritta utilizzando la rappresentazione rettangolare come:
![{\displaystyle z=e^{sT}=e^{T\sigma }e^{jT\omega }=e^{T\sigma }e^{jT(\omega +{\frac {2k\pi }{T}})}\qquad k\in \mathbb {R} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de39208d10e7af9f8bb650f2b79416ed437a25b)
L'ultima identità deriva dal fatto che l'esponenziale complesso è una funzione periodica di periodo i2π.
Da questa relazione si possono fare alcune considerazioni importanti
- ogni punto sul piano s la cui parte immaginaria differisce di un multiplo intero della pulsazione di campionamento viene trasformato nello stesso punto sul piano z
- ogni punto sul piano s appartenente al semipiano negativo viene trasformato in un punto interno alla circonferenza di raggio 1 poiché
![{\displaystyle |z|=e^{T\sigma }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d6c63997decf0667bd87d73bbefaf508b68fd28)
- ogni punto sul piano s appartenente al semipiano positivo viene trasformato in un punto esterno alla circonferenza di raggio unitario
- ogni punto appartenente all'asse immaginario viene trasformato in un punto sulla circonferenza di raggio unitario
In virtù di queste considerazioni ha senso definire anche una striscia primaria e più strisce complementari nel piano s. La striscia primaria comprende tutti i numeri complessi con parte immaginaria compresa tra
, le strisce complementari si ottengono, a partire da quella primaria, per traslazione verticale di un multiplo intero della pulsazione di campionamento. Per quanto detto è possibile far corrispondere ogni punto del piano z con un punto della striscia primaria.
Al pari di quanto avviene nel piano s è possibile, anche nel piano z, tracciare dei luoghi a
e
costante.
La trasformata di Fourier a tempo discreto è un caso particolare della trasformata zeta:
![{\displaystyle X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,z^{-n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a599aa526823646d32469385b73490b60e28ea7)
che si ottiene ponendo
. Dal momento che
, la trasformata di Fourier a tempo discreto è la valutazione della trasformata zeta sul cerchio unitario nel piano complesso.
J. R. Ragazzini and L. A. Zadeh, The analysis of sampled-data systems, in Trans. Am. Inst. Elec. Eng., vol. 71, II, 1952, pp. 225–234.
- El Jury Theory and Applications of the z-Transform Method (John Wiley & Sons, NY, 1964)
- Yutaka Yamamoto Digital Control Wiley Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering, 5, 445–457 (1999). PDF
Ulteriori informazioni Controllo di autorità ...
Chiudi