Trasformata integrale

In matematica una trasformata integrale è un'applicazione, generalmente lineare, di uno spazio di funzioni su un altro spazio di funzioni realizzata con un integrale, usata per ridurre equazioni differenziali lineari a equazioni algebriche e per l'analisi dei segnali.

A prescindere dai formalismi matematici, il motivo per il quale vengono introdotte le trasformate è che alcuni problemi, nella loro formulazione originale, sono estremamente complessi da risolvere nel dominio di origine. Può quindi risultare utile "rimappare" le funzioni che reggono tali problemi in un dominio diverso da quello originario. La soluzione delle funzioni "mappate" nei nuovi domini può dunque essere molto più semplice della soluzione iniziale. Dopo aver trovato la soluzione, occorre ritornare dalle funzioni trasformate a quelle originarie, cioè nel dominio di origine, mediante l'operazione inversa della trasformata integrale o antitrasformazione.

Forma generale

La forma generale di una trasformata integrale lineare ${\displaystyle {\mathcal {T}}(f)}$ è:

${\displaystyle {\mathcal {T}}(f)(s)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}K(s,t)f(t)dt,}$

dove ${\displaystyle K(s,t)}$ è una funzione detta nucleo integrale o kernel, che caratterizza e definisce il tipo di trasformazione. La maggior parte delle trasformate usate sono integrali impropri, cioè uno o entrambi gli estremi di integrazione sono ${\displaystyle \infty }$.

Per alcuni nuclei esiste una trasformata inversa, a cui è associato un "nucleo inverso" ${\displaystyle K^{-1}(u,t)}$:

${\displaystyle f(t)=\int \limits _{u_{1}}^{u_{2}}K^{-1}(u,t)\,({\mathcal {T}}f(u))\,du.}$

I nuclei integrali più diffusi utilizzano la funzione esponenziale, in particolare quello della trasformata di Fourier e della sua generalizzazione di Laplace, dove la trasformata estende "al continuo" il concetto di rappresentare una funzione mediante combinazione lineare di esponenziali (serie di Fourier).

Alcune tra le principali trasformate integrali

Trasformata	Simbolo	K	f(t)	t1	t2	K−1	u1	u2
Trasformata di Fourier	${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-iut}}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle f\in L_{1}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{iut}}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$
Trasformata seno (Fourier)	${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)}$	a valori reali, definita su ${\displaystyle [0,\infty )}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Trasformata coseno (Fourier)	${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)}$	a valori reali, definita su ${\displaystyle [0,\infty )}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Trasformata di Hartley	${\displaystyle {\mathcal {H}}}$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$
Trasformata di Mellin	${\displaystyle {\mathcal {M}}}$	${\displaystyle t^{u-1}}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Trasformata di Laplace bilatera	${\displaystyle {\mathcal {B}}}$	${\displaystyle e^{-ut}}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Trasformata di Laplace	${\displaystyle {\mathcal {L}}}$	${\displaystyle e^{-ut}}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Trasformata di Weierstrass	${\displaystyle {\mathcal {W}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}}{\sqrt {4\pi }}}\,}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}{i{\sqrt {4\pi }}}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Trasformata di Hankel		${\displaystyle tJ_{\nu }(ut)}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle uJ_{\nu }(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Trasformata di Abel		${\displaystyle {\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}}$		${\displaystyle u}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}}$	${\displaystyle t}$	${\displaystyle \infty }$
Trasformata di Hilbert	${\displaystyle {\mathcal {H}}il}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle +\infty }$
Nucleo di Poisson		${\displaystyle {\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2\pi }$
Trasformata N	${\displaystyle {\mathcal {N}}}$	${\displaystyle e^{-st}}$	${\displaystyle f(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{st/u}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$

Negli estremi di integrazione della trasformata inversa, ${\displaystyle c}$ è una costante dipendente dalla natura della funzione considerata.

Bibliografia

• (EN) I. N. Sneddon The use of Integral Transforms (McGraw-Hill, NY, 1972)
• (EN) A. Erdelyi et al. Tables of Integral Transforms (McGrawHill, NY, 1954)
• (EN) J. Miles Integral transforms in applied mathematics American Journal of Physics 40, 785 (1972)

Voci correlate

• Nucleo di Poisson
• Operatore non locale
• Trasformata di Fourier
• Trasformata di Fourier veloce
• Trasformata discreta di Fourier
• Trasformata di Hankel
• Trasformata di Hilbert
• Trasformata di Laplace
• Trasformata di Mellin
• Trasformata di Weierstrass
• Trasformata di Legendre
• Trasformata discreta del coseno
• Trasformata di Radon
• Trasformata di Hough
• Trasformata zeta
• Trasformata di Burrows-Wheeler

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• trasformata integrale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) integral transform, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Integral Transform, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Trasformata integrale, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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