In trigonometria , il teorema dei seni (noto anche come teorema di Eulero ) esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti.
Un triangolo generico con le comuni notazioni
Si consideri il triangolo generico ABC rappresentato nella figura a lato, in cui gli angoli sono indicati da lettere greche minuscole e i lati opposti agli angoli dalle corrispondenti lettere latine minuscole.
a
=
B
C
¯
,
α
=
C
A
^
B
{\displaystyle a={\overline {BC}},~~\alpha =C{\hat {A}}B}
b
=
A
C
¯
,
β
=
A
B
^
C
{\displaystyle b={\overline {AC}},~~\beta =A{\hat {B}}C}
c
=
A
B
¯
,
γ
=
B
C
^
A
{\displaystyle c={\overline {AB}},~~\gamma =B{\hat {C}}A}
Vale quindi
a
sin
α
=
b
sin
β
=
c
sin
γ
=
a
b
c
2
S
=
2
R
{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {abc}{2S}}=2R}
dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC e
S
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}
è l'area del triangolo ricavata dal semiperimetro p grazie alla formula di Erone .
La relazione di proporzionalità viene formulata a volte in questo modo:
a
:
b
:
c
=
sin
α
:
sin
β
:
sin
γ
{\displaystyle a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma }
.
Risoluzione di un triangolo con il teorema dei seni
Il teorema può essere adoperato
per determinare il raggio del cerchio circoscritto:
R
=
a
2
sin
α
{\displaystyle R={\frac {a}{2\,\sin \alpha }}}
per la risoluzione di un triangolo dati un angolo, un lato adiacente all'angolo e il lato opposto (vedere figura a lato):
α
=
a
r
c
s
e
n
a
sin
β
b
{\displaystyle \alpha =\mathrm {arcsen} \,{\frac {a\,\sin \beta }{b}}}
.
Triangolo sferico: dimensioni ridotte a , b e c ; angoli α , β e γ
Per una superficie non euclidea dalla curvatura K , il raggio di curvatura ρ è
ρ
=
1
/
|
K
|
{\displaystyle \rho =1/{\sqrt {|K|}}}
.
Si definiscono quindi le dimensioni ridotte del triangolo:
a
=
B
C
¯
/
ρ
{\displaystyle a={\overline {BC}}/\rho }
,
b
=
A
C
¯
/
ρ
{\displaystyle b={\overline {AC}}/\rho }
,
c
=
A
B
¯
/
ρ
{\displaystyle c={\overline {AB}}/\rho }
.
Nel caso di un triangolo sferico , a , b e c corrispondono alle misure angolari dei segmenti degli archi grandi [BC ], [AC ] e [AB ] (vedere figura).
Geometria sferica
In un triangolo sferico ABC tracciato sulla sfera di centro O e di raggio ρ , il teorema del seno è espresso da
sin
a
sin
α
=
sin
b
sin
β
=
sin
c
sin
γ
=
6
V
O
A
B
C
ρ
3
sin
a
sin
b
sin
c
{\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin \alpha }}={\frac {\sin b}{\sin \beta }}={\frac {\sin c}{\sin \gamma }}={\frac {6V_{OABC}}{\rho ^{3}\,\sin a\ \sin b\ \sin c}}}
,
dove VOABC è il volume del tetraedro OABC .
Geometria iperbolica
In un triangolo iperbolico , il teorema dei seni si esprime con
s
e
n
h
a
sin
α
=
s
e
n
h
b
sin
β
=
s
e
n
h
c
sin
γ
{\displaystyle {\frac {\mathrm {senh} \,a}{\sin \alpha }}={\frac {\mathrm {senh} \,b}{\sin \beta }}={\frac {\mathrm {senh} \,c}{\sin \gamma }}}
.
Tetraedro: facce ed angoli diedri
Si consideri un tetraedro A 1 A 2 A 3 A 4 nello spazio tridimensionale. La figura di lato mostra un tetraedro proiettato su un piano e indica le notazioni di vertici, facce e angoli del tetraedro:
Sk la faccia opposta al vertice Ak ;
sk la superficie di Sk ;
Δk il piano su cui giace Sk ;
θij l'angolo diedro
(
Δ
i
,
Δ
j
)
^
{\displaystyle {\widehat {(\Delta _{i},\Delta _{j})}}}
.
Il seno dell'angolo triedro in corrispondenza del vertice A 1 si definisce nel modo seguente:
sin
A
1
=
1
−
cos
2
θ
23
−
cos
2
θ
24
−
cos
2
θ
34
−
2
cos
θ
23
cos
θ
24
cos
θ
34
sin
θ
23
sin
θ
24
sin
θ
34
{\displaystyle \sin A_{1}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta _{23}-\cos ^{2}\theta _{24}-\cos ^{2}\theta _{34}-2\cos \theta _{23}\cos \theta _{24}\cos \theta _{34}}}{\sin \theta _{23}\ \sin \theta _{24}\ \sin \theta _{34}}}}
;
E in modo analogo per gli altri angoli triedri.
Vale quindi
s
1
sin
A
1
=
s
2
sin
A
2
=
s
3
sin
A
3
=
s
4
sin
A
4
=
2
s
1
s
2
s
3
s
4
9
V
{\displaystyle {\frac {s_{1}}{\sin A_{1}}}={\frac {s_{2}}{\sin A_{2}}}={\frac {s_{3}}{\sin A_{3}}}={\frac {s_{4}}{\sin A_{4}}}={\frac {2s_{1}s_{2}s_{3}s_{4}}{9V}}}
,
dove V è il volume del tetraedro.
seni, teorema dei , in Enciclopedia della Matematica , Istituto dell'Enciclopedia Italiana , 2013.
(EN ) law of sines , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN ) Eric W. Weisstein, Teorema dei seni , su MathWorld , Wolfram Research.