Spirale archimedea

Una spirale archimedea o spirale di Archimede, così chiamata dal nome del matematico Archimede, è una curva che può essere descritta in coordinate polari ${\displaystyle (r,\theta )}$ dalla seguente equazione:

${\displaystyle r(\theta )=a+b\theta ,}$

Un esempio quotidiano di spirale di Archimede è una corda arrotolata per terra, dove ogni spira ha la medesima larghezza

con ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ numeri reali e ${\displaystyle b}$ strettamente positivo. La modifica del parametro ${\displaystyle a}$ ruota la spirale, mentre ${\displaystyle b}$ controlla la distanza fra i bracci.

La spirale di Archimede si distingue dalla spirale logaritmica per il fatto che i bracci successivi hanno una distanza fissa (uguale a ${\displaystyle 2\pi b}$ se ${\displaystyle \theta }$ è misurato in radianti), mentre in una spirale logaritmica le distanze seguono una progressione geometrica.

Questa spirale archimedea ha due bracci, uno per ${\displaystyle \theta >-a/b}$ e uno per ${\displaystyle \theta <-a/b}$. I due bracci hanno un raccordo liscio all'origine. Un braccio si ottiene dall'altro costruendo la sua immagine speculare rispetto a un opportuno asse.

Talvolta l'espressione «spirale di Archimede» è usato per un gruppo più generale di spirali:

${\displaystyle r(\theta )=a+b\theta ^{1/x}.}$

La normale spirale archimedea si ottiene per ${\displaystyle x=1}$. Altre spirali che ricadono in questo gruppo sono la spirale iperbolica (${\displaystyle x=-1}$), la spirale di Fermat (${\displaystyle x=2}$), e il lituo (${\displaystyle x=-2}$). Quasi tutte le spirali che si trovano in natura sono spirali logaritmiche, e non di Archimede.

Equazione parametrica

La rappresentazione parametrica della spirale archimedea, al variare del parametro ${\displaystyle \theta }$ in ${\displaystyle {\biggl [}-{\frac {a}{b}},+\infty {\biggr )}}$, è data da

${\displaystyle {\begin{cases}x(\theta )=(a+b\theta )\cos \theta \\y(\theta )=(a+b\theta )\sin \theta ,\end{cases}}}$

con ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ numeri reali e ${\displaystyle b}$ strettamente positivo.

Curiosità

Il problema della rettificazione della circonferenza, che tanti sforzi costò agli antichi geometri, fu risolto anche da Archimede, introducendo una nuova curva, oltre a quelle generabili con il solo uso di riga e compasso. Questa era proprio la sua spirale. Egli riuscì a produrre un risultato che se si pensa agli strumenti matematici dell'epoca ha dell'incredibile.

Si consideri il cosiddetto primo cerchio di Archimede^[1] (si veda la figura a lato). Si tracci la retta ${\displaystyle s}$ normale al raggio ${\displaystyle AH}$ del primo cerchio di centro ${\displaystyle A}$ e passante per l'origine della spirale. Si consideri, poi, la retta tangente alla spirale in ${\displaystyle H}$ che interseca la retta ${\displaystyle s}$ in un punto che chiamiamo ${\displaystyle F.}$ Archimede dimostra che il segmento ${\displaystyle FA}$ è la rettificazione della circonferenza del cerchio di raggio ${\displaystyle AH}$^[2]. Così facendo, Archimede, sposta il problema della rettificazione della circonferenza a quello di tracciare la tangente alla spirale, cosa che con il solo uso di riga e compasso è impossibile.

Note

1. Per primo cerchio si intende il cerchio generato dal raggio vettore della spirale dopo una rotazione completa.
2. Nell'opera Sulle spirali, si legge,
   PROPOSIZIONE 18: Se una linea retta è tangente ad una spirale, nella prima rotazione, nel termine [H] della spirale stessa e se dal punto che è principio della spirale si conduce una retta perpendicolare alla retta principio della rotazione, la [retta] così condotta incontra la tangente e il segmento di retta compreso fra la tangente e il principio della spirale sarà uguale alla circonferenza del primo cerchio.

Voci correlate

• Archimede
• Sulle spirali
• Spirale iperbolica
• Spirale di Fermat
• Spirale logaritmica

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Collegamenti esterni

• Archimede, spirale di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Spirale archimedea, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Spirale archimedea, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 38486 · LCCN (EN) sh85006546 · BNF (FR) cb122113122 (data) · J9U (EN, HE) 987007294833405171

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