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concetto matematico Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
Il concetto di insieme aperto si trova in matematica in molti ambiti e con diversi gradi di generalità. Intuitivamente, un insieme è aperto se è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva; attraverso la definizione di insieme aperto si possono definire concetti come "vicino", "lontano", "attaccato", "separato"; definizioni non intuitive di insiemi aperti corrisponderanno a situazioni matematiche in cui questi concetti vengono utilizzati in modo non intuitivo.
La topologia è l'ambito più generale in cui si incontrano gli insiemi aperti; in questo contesto il concetto di insieme aperto viene considerato fondamentale; preso un insieme se una qualunque collezione di sottoinsiemi di soddisfa le proprietà riportate sotto, diventa uno spazio topologico, viene chiamata topologia di e gli insiemi di per definizione, i suoi aperti.
Perché la collezione sia una topologia devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:
Lo spazio topologico viene indicato specificando la coppia È da notare che se si considera uno stesso insieme con due diverse topologie e si hanno due spazi topologici diversi; tuttavia in molti casi, in cui la struttura topologica emerge in modo "naturale", indicare l'insieme è sufficiente per individuare lo spazio topologico.
In uno spazio metrico , un sottoinsieme di si dice aperto se, per ogni , esiste un numero reale tale che i punti che distano da per meno di appartengono ancora a . Formalmente: se , allora . Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di secondo la definizione precedente: in questo modo ogni spazio metrico è dotato in modo naturale di una struttura di spazio topologico, e tutti gli aperti metrici possono essere considerati aperti topologici (ma non viceversa).
Lo spazio euclideo è un particolare spazio metrico. Un insieme aperto dello spazio euclideo è un insieme tale che per ogni di esiste una palla di raggio centrata in , interamente contenuta in .
In particolare, un intervallo in è aperto se è del tipo , dove e possono anche essere rispettivamente e .
A ogni definizione di insieme aperto corrisponde una definizione di insieme chiuso. In generale, un insieme è chiuso se e solo se è il complementare di un insieme aperto; nell'ambito degli spazi topologici questa è esattamente la proprietà definitoria, negli altri ambiti si danno definizioni a parte e questa proprietà viene provata come un teorema.
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