Gas ideale

Un gas ideale, o gas perfetto^[1][2], è un gas descritto dall'equazione di stato dei gas perfetti, e che quindi rispetta la legge di Boyle-Mariotte, la prima legge di Gay-Lussac o legge di Charles, e la seconda legge di Gay-Lussac, in tutte le condizioni di temperatura, densità e pressione.^[3][4][5] In questo modello le molecole del gas sono assunte puntiformi e non interagenti. I gas reali si comportano con buona approssimazione come gas perfetti quando la pressione è sufficientemente bassa e la temperatura sufficientemente alta.^[6]

In un diagramma p-V (piano di Clapeyron), le isoterme di un gas ideale sono rappresentate da iperboli equilatere.

Proprietà di un gas ideale

Per gas ideale si intende un gas che possieda le seguenti proprietà:^[7]

• le molecole sono puntiformi e pertanto hanno un volume trascurabile;
• le molecole interagiscono tra loro e con le pareti del recipiente mediante urti perfettamente elastici (ovvero non vi è dispersione di energia cinetica durante gli urti);
• non esistono forze di interazione a distanza tra le molecole del gas: le molecole si dicono "non interagenti";
• le molecole del gas sono identiche tra loro e indistinguibili;
• il moto delle molecole è casuale e disordinato in ogni direzione, ma soggetto a leggi deterministiche.

In conseguenza di ciò:

• il gas non può essere liquefatto per sola compressione, ossia non subisce trasformazioni di stato;
• il calore specifico è funzione della temperatura;
• l'energia interna è data solamente dall'energia cinetica, non da quella potenziale; essa rimane costante e non viene dissipata.

In un gas ideale l'energia cinetica media delle molecole del gas è direttamente proporzionale alla temperatura:

${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}\propto T}$

I gas reali vengono descritti dalla legge dei gas perfetti con buona approssimazione solo quando la pressione è sufficientemente bassa e la temperatura sufficientemente alta. In caso contrario è valida la legge dei gas reali.

Energia interna

La variazione dell'energia interna è una funzione di stato, ossia ha la proprietà di dipendere solo dal suo stato iniziale e finale e non dal percorso compiuto. In generale l'energia interna è una funzione sia della temperatura che del volume, differenziando si ottiene quindi:

${\displaystyle dU=\left({\partial U \over \partial T}\right)dT+\left({\partial U \over \partial V}\right)dV}$

Considerando i risultati matematici dell'esperienza di Joule per l'espansione libera di un gas perfetto:

${\displaystyle \left({\partial U \over \partial V}\right)=0}$

${\displaystyle \left({\partial U \over \partial p}\right)=0}$

e sostituendo nel differenziale precedentemente calcolato, si ottiene:

${\displaystyle dU=\left({\partial U \over \partial T}\right)dT}$

Ovvero per i gas perfetti l'energia interna è funzione solamente della temperatura.^[8]

Definendo come ${\displaystyle C_{V}}$ la capacità termica a volume costante, allora per una trasformazione isocora dal primo principio della termodinamica si ha che:

${\displaystyle dU=\delta Q=\left({\partial Q \over \partial T}\right)dT=C_{v}dT}$

dove ${\displaystyle \delta Q}$ è il calore scambiato dal gas con l'ambiente durante la trasformazione. Assumendo che la capacità termica è costante con la temperatura, e usando la legge dei gas perfetti, allora il primo principio della termodinamica può essere riscritto per i gas ideali e per trasformazioni quasistatiche come

${\displaystyle \delta Q=C_{v}dT+nRT{\frac {dV}{V}}}$

dove ${\displaystyle R}$ è la costante universale dei gas e ${\displaystyle n}$ è il numero di moli di gas.^[9]

Entropia

Lo stesso argomento in dettaglio: Entropia § Definizione termodinamica.

Si consideri una trasformazione reversibile che porti ${\displaystyle n}$ moli di gas perfetto da uno stato con pressione, volume e temperatura ${\displaystyle (p_{A},\;V_{A},\;T_{A})}$ ad uno stato finale ${\displaystyle (p_{B},\;V_{B},\;T_{B})}$. La quantità infinitesima di calore scambiata nella trasformazione è data da:

${\displaystyle dQ=nc_{V}dT+nRT{\frac {dV}{V}}}$

dove ${\displaystyle c_{V}}$ è il calore specifico a volume costante.

Ricordando che la variazione di entropia è data da:^[10]

${\displaystyle S_{B}-S_{A}=\int _{A}^{B}\left({\frac {dQ}{T}}\right)_{rev}}$,

allora la variazione si entropia nel passaggio dallo stato iniziale ${\displaystyle A}$ allo stato finale ${\displaystyle B}$ è data da:^[11]

${\displaystyle S_{B}-S_{A}=\int _{A}^{B}nc_{V}{\frac {dT}{T}}\ +\int _{A}^{B}nR{\frac {dV}{V}}}$.

Integrando si ottiene:

${\displaystyle S_{B}-S_{A}=nc_{V}\ln {\left({\frac {T_{B}}{T_{A}}}\right)}+nR\ln {\left({\frac {V_{B}}{V_{A}}}\right)}}$.

Utilizzando l'equazione di stato dei gas perfetti e la relazione di Mayer, ed operando le opportune sostituzioni, è possibile riscrivere la relazione appena trovata anche in termini di pressione e di calore specifico a pressione costante:

${\displaystyle S_{B}-S_{A}=nc_{p}\ln {\left({\frac {T_{B}}{T_{A}}}\right)}-nR\ln {\left({\frac {p_{B}}{p_{A}}}\right)}}$

${\displaystyle S_{B}-S_{A}=nc_{V}\ln {\left({\frac {p_{B}}{p_{A}}}\right)}+nc_{p}\ln {\left({\frac {V_{B}}{V_{A}}}\right)}}$.

Si ricordi che in questi calcoli il calore specifico è stato assunto come costante della temperatura.

Entalpia

Per il gas ideale anche l'entalpia è funzione solamente della temperatura:

${\displaystyle \ dH=C_{p}dT}$

dove ${\displaystyle C_{p}}$ è la capacità termica a pressione costante. Dalla relazione di Mayer per un gas ideale:

${\displaystyle C_{p}=C_{v}+nR}$

e considerando che:

${\displaystyle \ dU=C_{v}dT}$

si evince che per un gas perfetto vale la relazione:

${\displaystyle \ dH=dU+nRdT}$.