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funzione meromorfa che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
In matematica, la funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo si ha:
dove denota il fattoriale di cioè il prodotto dei numeri interi da a : .
La notazione è dovuta a Legendre. Se la parte reale del numero complesso è positiva, allora l'integrale
converge assolutamente. Comunque, usando la continuazione analitica, si può estendere la definizione della a tutti i numeri complessi , anche con parte reale non positiva, ad eccezione degli interi minori o uguali a zero. Usando l'integrazione per parti, in effetti, si può dimostrare che:
per cui si ha:
In questo modo, la definizione della può essere estesa dal semipiano a quello (ad eccezione del polo in ), e successivamente a tutto il piano complesso (con poli in ).
Siccome , la relazione riportata sopra implica, per tutti i numeri naturali , che:
In statistica si incontra di frequente (per esempio nella variabile casuale normale) l'integrale:
che si ottiene ponendo , e quindi , ottenendo quindi
Le seguenti espressioni alternative per la funzione Gamma, sono valide su tutto il piano complesso (ad eccezione dei poli):
dovuta a Gauss,
dove è la costante di Eulero-Mascheroni, dovuta a Schlömilch e ottenibile applicando il teorema di fattorizzazione di Weierstrass alla funzione
Un'ulteriore espressione alternativa è la seguente:
In questa formula sono espliciti i poli di ordine e residuo che la funzione Gamma ha in , per ogni intero non negativo.
La singolarità nell'origine può essere anche dedotta dalla relazione di ricorrenza. Infatti
dove è stato fatto uso della relazione .
Altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula di riflessione di Eulero:
e quella di duplicazione:
che a sua volta è un caso particolare della formula di moltiplicazione:
la quale per diventa:
Quest'ultima identità è ottenibile anche dalla formula di riflessione e dall'identità trigonometrica .
Le derivate della funzione Gamma:
possono essere espresse in funzione della stessa funzione Gamma e di altre funzioni, per esempio:
dove è la funzione poligamma di ordine zero. In particolare,
dove è la costante di Eulero-Mascheroni.
Si ha, inoltre:
che per intero positivo si riduce ad una somma finita
dove è l'(m-1)-esimo numero armonico.
Derivando membro a membro rispetto a si ha, ancora,
che per diverge, mentre per diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2
Lukacs studiò altre proprietà nell'opera A Characterization of the Gamma Distribution negli Annals of Mathematical Statistics del 1955.
Ricordiamo anche che, a partire dalla funzione Gamma, la funzione poligamma di ordine è definita nel modo seguente:
Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è:
che si può trovare ponendo nella formula di riflessione.
Oltre a questo e al già citato valore assunto sui numeri naturali, sono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di
dove denota il semifattoriale e la parentesi tonda a due livelli il coefficiente binomiale.
Il teorema di Bohr-Mollerup afferma che, tra tutte le funzioni che estendono la funzione fattoriale, solo la funzione Gamma è tale che il suo logaritmo è una funzione convessa.
Controllo di autorità | GND (DE) 4289118-8 · NDL (EN, JA) 00562231 |
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