In matematica , in particolare in teoria analitica dei numeri , la funzione zeta di Hurwitz è una funzione zeta che deve il suo nome al matematico tedesco Adolf Hurwitz . La funzione è definita attraverso la serie
ζ
(
s
,
q
)
=
∑
n
=
0
∞
1
(
q
+
n
)
s
,
{\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{s}}},}
se
Re
(
s
)
>
1
{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}
Re
(
q
)
>
0
{\displaystyle \operatorname {Re} (q)>0}
q
=
1
{\displaystyle q=1}
funzione zeta di Riemann , cioè
ζ
(
s
,
1
)
=
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s,1)=\zeta (s)}
Allo stesso modo della funzione zeta di Riemann,
ζ
(
s
,
q
)
{\displaystyle \zeta (s,q)}
prolungata analiticamente a una funzione olomorfa sull'intero piano complesso , ad eccezione di
s
=
1
{\displaystyle s=1}
Funzione zeta di Hurwitz con
q
=
1
/
3
{\displaystyle q=1/3}
matplotlib utilizzando una versione del metodo della colorazione del dominio .[1]
Rappresentazione in serie
Funzione zeta di Hurwitz con parametro
q
{\displaystyle q}
s
=
3
+
4
i
{\displaystyle s=3+4i}
Nel 1930, Helmut Hasse [2]
q
>
0
{\displaystyle q>0}
s
≠
1
{\displaystyle s\neq 1}
ζ
(
s
,
q
)
=
1
s
−
1
∑
n
=
0
∞
1
n
+
1
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
(
q
+
k
)
1
−
s
.
{\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}.}
Questa serie converge uniformemente in ogni sottoinsieme compatto del semipiano di
s
{\displaystyle s}
funzione intera . SI comprende che la somma interna è la
n
{\displaystyle n}
differenza in avanti di
q
1
−
s
{\displaystyle q^{1-s}}
Δ
n
q
1
−
s
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
n
−
k
(
n
k
)
(
q
+
k
)
1
−
s
{\displaystyle \Delta ^{n}q^{1-s}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}}
dove
Δ
{\displaystyle \Delta }
ζ
(
s
,
q
)
=
1
s
−
1
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
n
+
1
Δ
n
q
1
−
s
=
1
s
−
1
log
(
1
+
Δ
)
Δ
q
1
−
s
{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s,q)&={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}q^{1-s}\\&={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{1-s}\end{aligned}}}
Altre serie globalmente convergenti sono le seguenti
ζ
(
s
,
v
−
1
)
=
1
s
−
1
∑
n
=
0
∞
H
n
+
1
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
(
k
+
v
)
1
−
s
{\displaystyle \zeta (s,v-1)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }H_{n+1}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{1-s}}
ζ
(
s
,
v
)
=
k
!
(
s
−
k
)
k
∑
n
=
0
∞
1
(
n
+
k
)
!
[
n
+
k
n
]
∑
l
=
0
n
+
k
−
1
(
−
1
)
l
(
n
+
k
−
1
l
)
(
l
+
v
)
k
−
s
,
k
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle \zeta (s,v)={\frac {k!}{(s-k)_{k}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)!}}\left[{n+k \atop n}\right]\sum _{l=0}^{n+k-1}\!(-1)^{l}{\binom {n+k-1}{l}}(l+v)^{k-s},\quad k=1,2,3,\ldots }
ζ
(
s
,
v
)
=
v
1
−
s
s
−
1
+
∑
n
=
0
∞
|
G
n
+
1
|
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
(
k
+
v
)
−
s
{\displaystyle \zeta (s,v)={\frac {v^{1-s}}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }|G_{n+1}|\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}}
ζ
(
s
,
v
)
=
(
v
−
1
)
1
−
s
s
−
1
−
∑
n
=
0
∞
C
n
+
1
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
(
k
+
v
)
−
s
{\displaystyle \zeta (s,v)={\frac {(v-1)^{1-s}}{s-1}}-\sum _{n=0}^{\infty }C_{n+1}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}}
ζ
(
s
,
v
)
(
v
−
1
2
)
=
s
−
2
s
−
1
ζ
(
s
−
1
,
v
)
+
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
G
n
+
2
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
(
k
+
v
)
−
s
{\displaystyle \zeta (s,v){\big (}v-{\tfrac {1}{2}}{\big )}={\frac {s-2}{s-1}}\zeta (s-1,v)+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}G_{n+2}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}}
ζ
(
s
,
v
)
=
−
∑
l
=
1
k
−
1
(
k
−
l
+
1
)
l
(
s
−
l
)
l
ζ
(
s
−
l
,
v
)
+
∑
l
=
1
k
(
k
−
l
+
1
)
l
(
s
−
l
)
l
v
l
−
s
+
k
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
G
n
+
1
(
k
)
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
(
k
+
v
)
−
s
{\displaystyle \zeta (s,v)=-\sum _{l=1}^{k-1}{\frac {(k-l+1)_{l}}{(s-l)_{l}}}\zeta (s-l,v)+\sum _{l=1}^{k}{\frac {(k-l+1)_{l}}{(s-l)_{l}}}v^{l-s}+k\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}G_{n+1}^{(k)}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}}
dove
H
n
{\displaystyle H_{n}}
numeri armonici ,
[
⋅
⋅
]
{\displaystyle \left[{\cdot \atop \cdot }\right]}
(
…
)
…
{\displaystyle (\ldots )_{\ldots }}
simbolo di Pochhammer ,
G
n
{\displaystyle G_{n}}
G
n
(
k
)
{\displaystyle G_{n}^{(k)}}
C
n
{\displaystyle C_{n}}
C
1
=
1
/
2
{\displaystyle C_{1}=1/2}
C
2
=
5
/
12
{\displaystyle C_{2}=5/12}
C
3
=
3
/
8
{\displaystyle C_{3}=3/8}
[3]
Rappresentazione integrale
La funzione ha una rappresentazione integrale in termine della trasformata di Mellin ,
ζ
(
s
,
q
)
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
t
s
−
1
e
−
q
t
1
−
e
−
t
d
t
{\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}dt}
per
R
e
(
s
)
>
1
{\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1}
R
e
(
q
)
>
0.
{\displaystyle \mathrm {Re} (q)>0.}
Alcune somme finite
Le seguenti somme finite sono strettamente collegate all'equazione funzionale, alcune delle quali possono essere valutate in forma chiusa
∑
r
=
1
m
−
1
ζ
(
s
,
r
m
)
cos
2
π
r
k
m
=
m
Γ
(
1
−
s
)
(
2
π
m
)
1
−
s
sin
π
s
2
⋅
{
ζ
(
1
−
s
,
k
m
)
+
ζ
(
1
−
s
,
1
−
k
m
)
}
−
ζ
(
s
)
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\zeta \left(s,{\frac {r}{m}}\right)\cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {m\Gamma (1-s)}{(2\pi m)^{1-s}}}\sin {\frac {\pi s}{2}}\cdot \left\{\zeta \left(1-s,{\frac {k}{m}}\right)+\zeta \left(1-s,1-{\frac {k}{m}}\right)\right\}-\zeta (s)}
∑
r
=
1
m
−
1
ζ
(
s
,
r
m
)
sin
2
π
r
k
m
=
m
Γ
(
1
−
s
)
(
2
π
m
)
1
−
s
cos
π
s
2
⋅
{
ζ
(
1
−
s
,
k
m
)
−
ζ
(
1
−
s
,
1
−
k
m
)
}
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\zeta \left(s,{\frac {r}{m}}\right)\sin {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {m\Gamma (1-s)}{(2\pi m)^{1-s}}}\cos {\frac {\pi s}{2}}\cdot \left\{\zeta \left(1-s,{\frac {k}{m}}\right)-\zeta \left(1-s,1-{\frac {k}{m}}\right)\right\}}
∑
r
=
1
m
−
1
ζ
2
(
s
,
r
m
)
=
(
m
2
s
−
1
−
1
)
ζ
2
(
s
)
+
2
m
Γ
2
(
1
−
s
)
(
2
π
m
)
2
−
2
s
∑
l
=
1
m
−
1
{
ζ
(
1
−
s
,
l
m
)
−
cos
π
s
⋅
ζ
(
1
−
s
,
1
−
l
m
)
}
ζ
(
1
−
s
,
l
m
)
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\zeta ^{2}\left(s,{\frac {r}{m}}\right)={\big (}m^{2s-1}-1{\big )}\zeta ^{2}(s)+{\frac {2m\Gamma ^{2}(1-s)}{(2\pi m)^{2-2s}}}\sum _{l=1}^{m-1}\left\{\zeta \left(1-s,{\frac {l}{m}}\right)-\cos \pi s\cdot \zeta \left(1-s,1-{\frac {l}{m}}\right)\right\}\zeta \left(1-s,{\frac {l}{m}}\right)}
dove
m
{\displaystyle m}
2
{\displaystyle 2}
s
{\displaystyle s}
numero complesso .[4]
Valori razionali
La funzione zeta di Hurwitz calcolata nei numeri razionali compare in molte identità impressionanti.[5] polinomi di Eulero
E
n
(
x
)
{\displaystyle E_{n}(x)}
E
2
n
−
1
(
p
q
)
=
(
−
1
)
n
4
(
2
n
−
1
)
!
(
2
π
q
)
2
n
∑
k
=
1
q
ζ
(
2
n
,
2
k
−
1
2
q
)
cos
(
2
k
−
1
)
π
p
q
{\displaystyle E_{2n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}
e
E
2
n
(
p
q
)
=
(
−
1
)
n
4
(
2
n
)
!
(
2
π
q
)
2
n
+
1
∑
k
=
1
q
ζ
(
2
n
+
1
,
2
k
−
1
2
q
)
sin
(
2
k
−
1
)
π
p
q
{\displaystyle E_{2n}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}
Inoltre,
ζ
(
s
,
2
p
−
1
2
q
)
=
2
(
2
q
)
s
−
1
∑
k
=
1
q
[
C
s
(
k
q
)
cos
(
(
2
p
−
1
)
π
k
q
)
+
S
s
(
k
q
)
sin
(
(
2
p
−
1
)
π
k
q
)
]
{\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{s-1}\sum _{k=1}^{q}\left[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]}
vale per ogni
1
≤
p
≤
q
{\displaystyle 1\leq p\leq q}
C
ν
(
x
)
{\displaystyle C_{\nu }(x)}
S
ν
(
x
)
{\displaystyle S_{\nu }(x)}
χ
ν
{\displaystyle \chi _{\nu }}
C
ν
(
x
)
=
Re
χ
ν
(
e
i
x
)
{\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \,\chi _{\nu }(e^{ix})}
e
S
ν
(
x
)
=
Im
χ
ν
(
e
i
x
)
.
{\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \,\chi _{\nu }(e^{ix}).}
Per valori interi di
ν
{\displaystyle \nu }
Serie di Taylor
La derivata della funzione zeta di Hurwitz rispetto alla seconda variabile è una traslazione:
∂
∂
q
ζ
(
s
,
q
)
=
−
s
ζ
(
s
+
1
,
q
)
.
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).}
Perciò, la serie di Taylor ha la caratteristica forma umbrale :
ζ
(
s
,
x
+
y
)
=
∑
k
=
0
∞
y
k
k
!
∂
k
∂
x
k
ζ
(
s
,
x
)
=
∑
k
=
0
∞
(
s
+
k
−
1
s
−
1
)
(
−
y
)
k
ζ
(
s
+
k
,
x
)
.
{\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).}
Alternativamente,
ζ
(
s
,
q
)
=
1
q
s
+
∑
n
=
0
∞
(
−
q
)
n
(
s
+
n
−
1
n
)
ζ
(
s
+
n
)
,
{\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{s+n-1 \choose n}\zeta (s+n),}
con
|
q
|
<
1
{\displaystyle |q|<1}
[6]
Strettamente connessa è la formula di Stark–Keiper :
ζ
(
s
,
N
)
=
∑
k
=
0
∞
[
N
+
s
−
1
k
+
1
]
(
s
+
k
−
1
s
−
1
)
(
−
1
)
k
ζ
(
s
+
k
,
N
)
{\displaystyle \zeta (s,N)=\sum _{k=0}^{\infty }\left[N+{\frac {s-1}{k+1}}\right]{s+k-1 \choose s-1}(-1)^{k}\zeta (s+k,N)}
che vale per
N
{\displaystyle N}
s
{\displaystyle s}
formula di Faulhaber per una relazione simile sulle somme finite di potenze di interi.
Serie di Laurent
L'espansione in serie di Laurent può essere utilizzata per definire le costanti di Stieltjes che compaiono nella serie
ζ
(
s
,
q
)
=
1
s
−
1
+
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
n
!
γ
n
(
q
)
(
s
−
1
)
n
.
{\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}.}
In particolare,
γ
0
(
q
)
=
−
ψ
(
q
)
{\displaystyle \gamma _{0}(q)=-\psi (q)}
γ
0
(
1
)
=
−
ψ
(
1
)
=
γ
0
=
γ
{\displaystyle \gamma _{0}(1)=-\psi (1)=\gamma _{0}=\gamma }
Legame con la funzione theta di Jacobi
Se
ϑ
(
z
,
τ
)
{\displaystyle \vartheta (z,\tau )}
funzione theta di Jacobi, allora
∫
0
∞
[
ϑ
(
z
,
i
t
)
−
1
]
t
s
/
2
d
t
t
=
π
−
(
1
−
s
)
/
2
Γ
(
1
−
s
2
)
[
ζ
(
1
−
s
,
z
)
+
ζ
(
1
−
s
,
1
−
z
)
]
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]}
vale per
Re
(
s
)
>
0
{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}
z
{\displaystyle z}
z
{\displaystyle z}
∫
0
∞
[
ϑ
(
n
,
i
t
)
−
1
]
t
s
/
2
d
t
t
=
2
π
−
(
1
−
s
)
/
2
Γ
(
1
−
s
2
)
ζ
(
1
−
s
)
=
2
π
−
s
/
2
Γ
(
s
2
)
ζ
(
s
)
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).}
dove
ζ
{\displaystyle \zeta }
funzione zeta di Riemann . Si noti che questa ultima forma è l'equazione funzionale della funzione zeta di Riemann, come scritta in origine da Riemann. La distinzione tra
z
{\displaystyle z}
delta di Dirac in
z
{\displaystyle z}
t
→
0
{\displaystyle t\rightarrow 0}
Legame con le funzioni L di Dirichlet
Se l'argomento è un numero razionale, si può esprimere la funzione zeta di Hurwitz come combinazione lineare di funzioni L di Dirichlet e vice versa: La Zeta di Hurwitz coincide con la Zeta di Riemann
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
q
=
1
{\displaystyle q=1}
q
=
1
/
2
{\displaystyle q=1/2}
(
2
s
−
1
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle (2^{s}-1)\zeta (s)}
[7]
q
=
n
/
k
{\displaystyle q=n/k}
k
>
2
{\displaystyle k>2}
(
n
,
k
)
>
1
{\displaystyle (n,k)>1}
0
<
n
<
k
{\displaystyle 0<n<k}
[8]
ζ
(
s
,
n
/
k
)
=
k
s
φ
(
k
)
∑
χ
χ
¯
(
n
)
L
(
s
,
χ
)
,
{\displaystyle \zeta (s,n/k)={\frac {k^{s}}{\varphi (k)}}\sum _{\chi }{\overline {\chi }}(n)L(s,\chi ),}
dove la somma è sui caratteri di Dirichlet mod
k
{\displaystyle k}
[7]
L
(
s
,
χ
)
=
1
k
s
∑
n
=
1
k
χ
(
n
)
ζ
(
s
,
n
k
)
.
{\displaystyle L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\;\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right).}
Esiste anche il teorema di moltiplicazione
k
s
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
k
ζ
(
s
,
n
k
)
,
{\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),}
di cui una utile generalizzazione è la relazione di distribuzione [9]
∑
p
=
0
q
−
1
ζ
(
s
,
a
+
p
/
q
)
=
q
s
ζ
(
s
,
q
a
)
.
{\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa).}
(Questa ultima forma è valida solo se
q
{\displaystyle q}
numero naturale e
1
−
q
a
{\displaystyle 1-qa}
La funzione zeta di Hurwitz compare in svariate discipline. Più comunemente, si presenta nella teoria dei numeri , dove il suo studio è il più profondo e sviluppata. Tuttavia, compare anche nello studio dei frattali e dei sistemi dinamici . Nella statistica applicata, è presente nella legge di Zipf e in quella di Zipf–Mandelbrot. Nella fisica delle particelle , compare in una formula di Julian Schwinger ,[12] produzione di coppia di un elettrone di Dirac .
La funzione zeta di Hurwitz con
m
{\displaystyle m}
funzione poligamma :
ψ
(
m
)
(
z
)
=
(
−
1
)
m
+
1
m
!
ζ
(
m
+
1
,
z
)
.
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\ .}
Per interi negativi
−
n
{\displaystyle -n}
polinomi di Bernoulli :[13]
ζ
(
−
n
,
x
)
=
−
B
n
+
1
(
x
)
n
+
1
.
{\displaystyle \zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}\ .}
La funzione zeta di Barnes generalizza la Zeta di Hurwitz come
ζ
N
(
s
,
w
|
a
1
,
.
.
.
,
a
N
)
=
∑
n
1
,
…
,
n
N
≥
0
1
(
w
+
n
1
a
1
+
⋯
+
n
N
a
N
)
s
{\displaystyle \zeta _{N}(s,w|a_{1},...,a_{N})=\sum _{n_{1},\dots ,n_{N}\geq 0}{\frac {1}{(w+n_{1}a_{1}+\cdots +n_{N}a_{N})^{s}}}}
dove
w
{\displaystyle w}
a
j
{\displaystyle a_{j}}
Re
(
s
)
>
N
{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>N}
Un'ulteriore generalizzazione viene dalla funzione trascendente di Lerch :
Φ
(
z
,
s
,
q
)
=
∑
k
=
0
∞
z
k
(
k
+
q
)
s
{\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}
e quindi
ζ
(
s
,
q
)
=
Φ
(
1
,
s
,
q
)
.
{\displaystyle \zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).\,}
Infine compaiono la funzione ipergeometrica
ζ
(
s
,
a
)
=
a
−
s
⋅
s
+
1
F
s
(
1
,
a
1
,
a
2
,
…
a
s
;
a
1
+
1
,
a
2
+
1
,
…
a
s
+
1
;
1
)
{\displaystyle \zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)}
a
1
=
a
2
=
…
=
a
s
=
a
,
a
∉
N
e
s
∈
N
+
.
{\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{, }}a\notin \mathbb {N} {\text{ e }}s\in \mathbb {N} ^{+}.}
e la funzione G di Meijer
ζ
(
s
,
a
)
=
G
s
+
1
,
s
+
1
1
,
s
+
1
(
−
1
|
0
,
1
−
a
,
…
,
1
−
a
0
,
−
a
,
…
,
−
a
)
s
∈
N
+
.
{\displaystyle \zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.}
Apostol, T. M. (2010), "Hurwitz zeta function" , in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255 , MR 2723248 vedere capitolo 12 di Apostol, T. M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , MR 0434929 , Zbl 0335.10001
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions ISBN 0-486-61272-4 . (vedere Paragrafo 6.4.10 per le relazione con la funzione poligamma.)
Harold Davenport , Multiplicative number theory , Lectures in advanced mathematics, vol. 1, Chicago, Markham, 1967, Zbl 0159.06303 . Jeff Miller e Victor S. Adamchik, Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments Journal of Computational and Applied Mathematics , vol. 100, 1998, pp. 201–206, DOI :10.1016/S0377-0427(98)00193-9 . URL consultato il 1º maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 17 marzo 2010) . Linas Vepstas, The Bernoulli Operator, the Gauss–Kuzmin–Wirsing Operator, and the Riemann Zeta PDF linas.org . István Mező e Ayhan Dil, Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function Journal of Number Theory , vol. 130, n. 2, 2010, pp. 360–369, DOI :10.1016/j.jnt.2009.08.005 . 
![{\displaystyle \lim _{s\to 1}\left[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)}{\Gamma (q)}}=-\psi (q)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a8c060c6ab7fbd1478eaf1383071b2fae825439)
![{\displaystyle \zeta (s,v)={\frac {k!}{(s-k)_{k}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)!}}\left[{n+k \atop n}\right]\sum _{l=0}^{n+k-1}\!(-1)^{l}{\binom {n+k-1}{l}}(l+v)^{k-s},\quad k=1,2,3,\ldots }](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836cd9b85d9e531a42385942aa050ea2ce7fa183)
![{\displaystyle \left[{\cdot \atop \cdot }\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e61b8728ed1e1a9034522fd06494ee3430e8fcd)
![{\displaystyle \zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a1e030d79f6183aff28e9ba3ca37f7542d9c26)
![{\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\left[\cos \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1147b42a48c7f11d1271a9293408d235152e2f09)
![{\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{s-1}\sum _{k=1}^{q}\left[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac4d1c422f93bd76554ea0986c83b501485ef28)
![{\displaystyle \zeta (s,N)=\sum _{k=0}^{\infty }\left[N+{\frac {s-1}{k+1}}\right]{s+k-1 \choose s-1}(-1)^{k}\zeta (s+k,N)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33981b5543442afe64445bbcc5f1a43218472cf9)
![{\displaystyle B_{n}(x)=-\Re \left[(-i)^{n}\beta (x;n)\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e88ef2c665eb0a20269db94ff13e5ad251f82c9)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/579ff6df25898771ec2dc9cd8c1ace8d78d4f162)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ef39a7c3c15f9564e6990488890a249e9dd921)
