È una funzione simmetrica, cioè il suo valore non cambia scambiando e :
Inoltre valgono anche le due seguenti identità:
La funzione beta si può scrivere in molti modi, di cui i più comuni sono i seguenti:
dove è la funzione Gamma e è il fattoriale discendente, cioè . In particolare, combinando la prima e la seconda forma si dimostra che .
Così come la funzione gamma descrive i fattoriali dei numeri interi, cioè se l'argomento è un numero intero il suo risultato è il fattoriale di , la funzione beta (con un piccolo aggiustamento degli indici) descrive i coefficienti binomiali; più precisamente è
La funzione beta è stato il primo modello di matrice S nella teoria delle stringhe, congetturato per la prima volta da Gabriele Veneziano.
Per ricavare la forma integrale della funzione beta, si può scrivere il prodotto di due fattoriali come:
Ora poniamo , in modo che:
Trasformiamo in coordinate polari con , :
e quindi riscriviamo gli argomenti nella forma solita della funzione beta:
La derivata della funzione beta può essere scritta sfruttando, di nuovo, la funzione gamma:
dove è la funzione digamma.
L'integrale di Nörlund-Rice è un integrale di circuitazione che coinvolge la funzione beta.
La funzione beta incompleta è una generalizzazione della funzione beta che sostituisce l'integrale definito della funzione beta con un integrale indefinito. È una generalizzazione del tutto analoga a quella della funzione gamma (la funzione gamma incompleta).
La funzione beta incompleta è definita come:
Per , la funzione beta incompleta ridiventa la normale funzione beta.
La funzione beta incompleta regolarizzata (o più brevemente funzione beta regolarizzata) è definita in termini di entrambe le due:
Calcolando l'integrale per valori interi di e , si ottiene:
Valgono le seguenti identità:
- (EN) E. T. Whittaker e G. N. Watson, A course of Modern Analysis, Cambridge University Press, 1915, p. 247.
- (EN) T. M. MacRobert, Functions of a complex variable, Londra, MacMillan, 1917, p. 144.
- (EN) M. Abramowitz e I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Washington, Governement Printing Office, 1964. (funzione beta) p. 263 (funzione beta incompleta)
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