Primitiva (matematica)

In analisi matematica, si dice primitiva o antiderivata di una funzione ${\displaystyle f}$ una funzione derivabile ${\displaystyle F}$ la cui derivata è uguale alla funzione di partenza. Denotando con l'apice la derivata, ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$. L'insieme di tutte le primitive di una funzione ${\displaystyle f}$ è detto integrale indefinito di ${\displaystyle f}$.^[1] Il calcolo della primitiva è strettamente legato alla risoluzione degli integrali definiti dal teorema fondamentale del calcolo integrale: infatti, l'integrale di una funzione, se esiste, è uguale alla differenza dei valori della primitiva sugli estremi di integrazione.^[2]

Tre primitive della funzione ${\displaystyle f(x)=x^{2}-x-1}$.

Definizione

Data una funzione ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$, definita su un intervallo ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$, si definisce primitiva una funzione ${\displaystyle F\colon I\to \mathbb {R} }$ tale che

${\displaystyle F'(x)=f(x)}$

per ogni ${\displaystyle x\in I}$.

Se ${\displaystyle F}$ è una primitiva di ${\displaystyle f}$, tutte e sole le primitive di ${\displaystyle f}$ sono nella forma ${\displaystyle F(x)+C}$, dove ${\displaystyle C}$ è una costante arbitraria reale.

L'integrale indefinito di ${\displaystyle f}$ è l'insieme di tutte le sue primitive. Esso si denota con il simbolo

${\displaystyle \int f(x)dx}$

e se ${\displaystyle F}$ è una particolare primitiva di ${\displaystyle f}$, allora

${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}$

al variare di ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$.^[1]

Principali primitive

Le singole voci sono elencate nella Categoria:Tavole di integrali.

Un metodo spesso utilizzato per calcolare le primitive di una funzione razionale è la decomposizione in fratti semplici. Per gli altri casi, alcune primitive molto frequenti sono esposte nel seguito:

${\displaystyle \int {x^{a}\,\mathrm {d} x}={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C\,\ }$	con ${\displaystyle a\neq -1\,\ }$
${\displaystyle \int {{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x}=\ln {|x|}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\mathrm {e} ^{x}}\,\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {a^{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C\,\ }$	con ${\displaystyle a>0\,\ }$,${\displaystyle a\neq 1\,\ }$
${\displaystyle \int {\sin {x}}\,\mathrm {d} x=-\cos {x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\cos {x}}\,\mathrm {d} x=\sin {x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\tan {x}\,\mathrm {d} x}=-\ln {|\cos {x}|}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\cot {x}}\,\mathrm {d} x=\ln {|\sin {x}|}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\sinh {x}}\,\mathrm {d} x=\cosh {x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\cosh {x}}\,\mathrm {d} x=\sinh {x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\tanh {x}}\,\mathrm {d} x=\ln {(\cosh {x})}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\coth {x}}\,\mathrm {d} x=\ln {|(\sinh {x})|}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\frac {1}{(\cos {x})^{2}}}\,\mathrm {d} x=\tan {x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\frac {1}{(\sin {x})^{2}}}\,\mathrm {d} x=-\cot {x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\frac {1}{(\cosh {x})^{2}}}\,\mathrm {d} x=\tanh {x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\frac {1}{(\sinh {x})^{2}}}\,\mathrm {d} x=-\coth {x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\arctan {x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\frac {1}{1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}+C\,\ }$	con ${\displaystyle |x|>1\,\ }$
${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{}]{1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\arcsin {x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{}]{1+x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\ln {|x+{\sqrt[{}]{1+x^{2}}}|}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{}]{x^{2}-1}}}\,\mathrm {d} x=\ln {|x+{\sqrt[{}]{x^{2}-1}}|}+C\,\ }$	con ${\displaystyle |x|>1\,\ }$

Note

1. Soardi, P. M., cap. 9.
2. Soardi, P. M., cap. 10.

Bibliografia

• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.
• (EN) Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also)
• (EN) Historical Essay On Continuity Of Derivatives, by Dave L. Renfro;

Voci correlate

• Derivata
• Integrale
• Teorema fondamentale del calcolo integrale

Altri progetti

Altri progetti

• Wikizionario

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «primitiva»

Collegamenti esterni

• primitiva, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica
• (EN) Antiderivative calculator with step-by-step solutions Archiviato il 23 agosto 2013 in Internet Archive. — supports all common methods and rules of integration
• (EN) Mathematical Assistant on Web — symbolic computations online. Allows to integrate in small steps (with hints for next step (integration by parts, substitution, partial fractions, application of formulas and others), powered by Maxima

Controllo di autorità	GND (DE) 4182868-9

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica