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Un'identità trigonometrica è un'identità matematica che coinvolge le funzioni trigonometriche.
Le identità trigonometriche sono utilizzate per semplificare molte espressioni contenenti funzioni trigonometriche (come, ad esempio, nella risoluzione di equazioni trigonometriche) e per il calcolo di molti integrali; talvolta, anche integrali di funzioni non trigonometriche possono essere calcolati mediante opportuni cambiamenti di variabile che utilizzano una funzione trigonometrica per portare a decisive semplificazioni.
Notazioni: Per denotare la funzione inversa del seno talora si usa ; qui preferiamo usare e scrivere per denotare la inversa moltiplicativa della funzione seno.
Si definiscono le seguenti funzioni trigonometriche:
Queste formule si ricavano facilmente dalle definizioni sulla circonferenza trigonometrica.
Molti modelli fisici si basano sul fatto che qualsiasi combinazione lineare d'onde sinusoidali con lo stesso periodo ma di differenti fasi è ancora un'onda sinusoidale dello stesso periodo, ma con una nuova fase. Precisamente:
dove
La scoperta delle prime due identità (dalle quali seguono anche le altre) risale a Tolomeo[1] ma per fornire una dimostrazione più veloce è possibile utilizzare le formule di Eulero attraverso la funzione . Una dimostrazione geometrica dell'identità per è data alla fine di questa voce.
dove
Queste possono essere ottenute sostituendo nei teoremi di addizione, e utilizzando il teorema di Pitagora per le ultime due. Ancor meglio utilizzare la formula di De Moivre con .
Se denotiamo l'-esimo polinomio di Chebyshev, allora
Il nucleo di Dirichlet è la funzione che si trova da entrambe le parti della seguente identità:
La convoluzione di ogni funzione quadrato sommabile periodica di periodo con il nucleo di Dirichlet coincide con la somma troncata di ordine della sua serie di Fourier.
Dalla formula di duplicazione del coseno e dalla formula trigonometrica di Pitagora si ottiene
Sostituendo al posto di nelle formule di riduzione della potenza, e calcolando e si ottiene.
Da queste ultime due identità, dividendo membro a membro la seconda per la prima, si ottiene:
Tuttavia, è possibile giungere a due espressioni per senza il valore assoluto, che sono le seguenti:
Moltiplicare per e sostituire al posto di . Il numeratore è , per la formula di duplicazione, e il denominatore è , che è per le formule di duplicazione. La seconda espressione, all'ultimo membro, si ottiene facilmente dalla precedente moltiplicando numeratore e denominatore per , dopo di che al denominatore compare ossia , per cui è sufficiente semplificare al numeratore e al denominatore.
Posto , seguono le cosiddette formule parametriche:
, | e |
La sostituzione di per , con il conseguente cambiamento di con e di con è spesso in grado di convertire funzioni razionali in e da integrare in funzioni di integrabili (si veda anche il successivo "punto di vista astratto").
Queste formule possono essere provate sviluppando la loro parte destra e semplificando con le formule di addizione. Sono anche dette formule di Werner.
Basta rimpiazzare con e con nelle espressioni dei prodotti mediante somme. Sono anche dette formule di prostaferesi.
La funzione gudermanniana è definita nel seguente modo:
Questa funzione stabilisce un collegamento tra le funzioni trigonometriche e le funzioni iperboliche senza ricorrere ai numeri complessi (si veda la voce relativa per i dettagli).
La seguente curiosa identità è stata appresa da Richard Feynman quando era ragazzino:
Si tratta di un caso particolare della seguente identità in cui compare una variabile:
Altre identità senza variabili:
La misura in gradi degli angoli risulta meno vantaggiosa di quella in radianti per una con al denominatore:
I fattori inducono a pensare agli interi inferiori a primi con . Gli ultimi esempi sono le conseguenze di un risultato di base sui polinomi ciclotomici irribucibili: i coseni sono le parti reali delle radici di questi polinomi; la somma degli zeri dà il valore della funzione di Möbius valutata in ; solo la metà delle radici sono presentate nella relazione precedente. Le due identità che precedono quest'ultima nascono nello stesso modo relativamente ai casi e , rispettivamente.
La seguente identità senza variabili può essere utilizzata per calcolare efficientemente:
oppure usando la formula di Eulero:
Nel calcolo infinitesimale è essenziale che gli angoli argomenti di funzioni trigonometriche siano misurati in radianti; se sono misurati in gradi o in altre unità di misura, allora le relazioni riportate qui sotto risultano false. A partire dalle definizioni geometriche delle funzioni trigonometriche si ricavano le loro derivate dopo aver stabiliti i due limiti che seguono.
(si verifica osservando la circonferenza trigonometrica e il teorema del confronto). Osserviamo che se usassimo la regola di de L'Hôpital per stabilire questo limite creeremmo un circolo vizioso sul piano logico, in quanto da questo limite si ricavano le derivate di seno e coseno necessarie per applicare la suddetta regola.
(Si verifica usando l'identità .)
Avendo stabilito questi due limiti, si stabilisce che e . riconducendo la derivazione alla sua definizione come limite di rapporto incrementale.
Se le funzioni seno e coseno sono definite dalle loro serie di Taylor, le loro derivate possono essere ottenute derivando le serie di potenze termine a termine.
Le derivate delle altre funzioni trigonometriche sono ricavate dalle precedenti con le regole di derivazione. Abbiamo quindi:
Le identità integrali possono essere trovate nella tavole di integrali.
Si consideri l'equazione differenziale:
Utilizzando la formula di Eulero e il metodo di risoluzione delle equazioni differenziali lineari, insieme al teorema di unicità e al teorema di esistenza possiamo definire seno e coseno nei modi seguenti
è l'unica soluzione della equazione
è l'unica soluzione della equazione
Dimostriamo che
Introduciamo e troviamo le sue derivate prima e seconda:
Quindi
Dunque possiamo dire che
Utilizziamo ancora le tecniche di risoluzione delle equazioni differenziali lineari e la formula di Eulero la soluzione di deve essere una combinazione lineare di e , quindi
Si trova ponendo al posto di
Per le condizioni iniziali , quindi
Risolvendo per abbiamo la derivata di e ponendo al posto di
Utilizzando le condizioni iniziali e dato che
Sostituendo e nell'equazione originale di abbiamo
ma dato che è definita come abbiamo
o
Usando queste definizioni di seno e coseno, si possono provare tutte le altre proprietà di seno e coseno utilizzando le stesse tecniche.
Come mostrato in figura si costruisce il segmento perpendicolare ad ed il segmento parallelo ad .
= Angolo = Angolo = Angolo .
= .
Allora
Osservando la figura precedente:
Dato che la circonferenza è una curva algebrica di genere , ci si aspetta che le funzioni circolari possano essere riducibili a funzioni razionali. In effetti è noto classicamente che usando sistematicamente le formule di bisezione per la tangente si possono esprimere le funzioni seno e coseno in termini di una nuova variabile .
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