Loading AI tools
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
In algebra, una disequazione fratta è una disequazione algebrica dove l'incognita compare nel divisore di qualche frazione. Una disequazione di questo tipo, tramite opportuni passaggi algebrici, può ricondursi alla forma seguente:[1]
dove e sono due polinomi nella variabile
La disequazione è soddisfatta da tutti i valori della per cui i due polinomi hanno lo stesso segno (sono concordi), per cui l'insieme delle soluzioni è dato dall'unione delle soluzioni dei seguenti due sistemi di disequazioni:[2]
Viceversa, la seconda disequazione
è soddisfatta da tutti i valori della per cui i due polinomi hanno segno opposto (sono discordi), pertanto l'insieme delle soluzioni è dato dall'unione delle soluzioni dei due sistemi:
Se la disuguaglianza non è stretta (ossia, se si presenta con il simbolo ≤ o ≥), allora anche i valori che annullano sono soluzioni.
Determiniamo tutte le soluzioni reali della seguente disequazione:
Portando tutto al primo membro e sommando le frazioni, si ottiene:
Dobbiamo perciò risolvere i due sistemi:
Il primo sistema non ammette soluzioni; il secondo è risolto da , che costituisce dunque l'insieme delle soluzioni della disequazione iniziale.
Determiniamo tutte le soluzioni reali della seguente disequazione:
Portando tutto al primo membro e sommando, si ottiene:
Dobbiamo perciò risolvere i due sistemi:
Il secondo sistema non ammette soluzioni; il primo è risolto da , che costituisce dunque l'insieme delle soluzioni della disequazione iniziale.
Il seguente metodo vale esclusivamente se la disequazione fratta è in forma normale, ossia: una frazione algebrica a primo membro confrontata con lo zero al secondo membro.
La procedura prevede:
Di norma il denominatore non può mai essere eliminato perché la presenza dell'incognita impedisce di sapere se esso è negativo o positivo e dunque non si può applicare il 2º principio di equivalenza delle disequazioni. In certe situazioni però il denominatore è sempre positivo o sempre negativo e dunque è possibile semplificare la frazione.
Determiniamo tutte le soluzioni reali della seguente disequazione:
La disequazione non è in forma normale però si osserva che il denominatore è sempre positivo in quanto somma di quadrati di cui il secondo sempre positivo. Grazie a questo fatto è possibile applicare il secondo principio di equivalenza delle disequazioni.
Un quadrato è sempre positivo o nullo, mai negativo, dunque l'unica soluzione è
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.