1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
serie matematica di numeri interi a segno alternato / Da Wikipedia, l'enciclopedia encyclopedia
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In matematica, 1 − 2 + 3 − 4 + ... è la serie infinita i cui termini sono la successione dei numeri interi a segno alternato. Usando la notazione di sommatoria, la somma dei primi termini della serie può essere espressa nel seguente modo:
Le somme parziali di questa serie infinita (1, −1, 2, −2, ...), non tendono verso un limite, né finito, né infinito. In questo caso si può dire che 1 − 2 + 3 − 4 + ... è una serie indeterminata (o irregolare).
Nella metà del XVIII secolo, Leonhard Euler enunciò quella che lui definiva un'equazione paradossale:
Una corretta spiegazione di questa equazione arrivò solo molto più tardi. Nel 1890, Ernesto Cesaro, Émile Borel e altri matematici definirono i metodi per estendere il concetto di sommabilità secondo un punto di vista che rendeva possibile attribuire un limite anche a serie fino ad allora intrattabili. Questi nuovi metodi davano nuove interpretazioni all'equazione di Eulero. Molti di questi metodi sono riferiti alle somme parziali di 1 − 2 + 3 − 4 + ..., a cui assegnano il valore di 1⁄4. Nella somma di Cesaro, invece, i termini della successione non sono sommabili; questo è un esempio di successione per cui si rendono necessari metodi di sommabilità leggermente più forti, come ad esempio quelli della somma di Abel.
La serie 1 − 2 + 3 − 4 + … è strettamente legata alla serie 1 − 1 + 1 − 1 + …, nota più comunemente come serie di Grandi. Eulero considerò queste due successioni come casi particolari della serie 1n − 2n + 3n − 4n + …, per valori arbitrari di n. Queste idee estesero il suo studio del problema di Basilea indirizzarono la ricerca sulle equazioni funzionali delle funzioni che ora sono note come funzione eta di Dirichlet e funzione zeta di Riemann.