Grúpa[1] er algebrumynstur sem samanstendur af mengi ásamt aðgerð þannig að hver tvennd úr menginu er vensluð staki úr sama mengi. Aðgerðin, sem um ræðir, er almennt kölluð margföldun, þótt ekki sé um margföldun í venjulegum skilningi að ræða. Svo almenn lýsing nær yfir fjölda fyrirbrigða í stærðfræði, t.d. er mengi heiltalna með venjulegri samlagningu grúpa og einingarhringurinn í tvinntalnasléttunni er margföldunargrúpa. Grúpur eru notaðar til að búa til einfalda lýsingu á flóknu kerfi. Þetta á einnig við um grannfræði, talningarfræði og stærðfræðigreiningu.
Skilgreining
Grúpa er mengi G ásamt tvístæðri aðgerð • (kallast grúpuaðgerð,[2] group law á ensku) sem tengir stök a og b saman (táknað a • b eða ab) þar sem mengið og aðgerðin (G, •) uppfylla eftirfarandi skilyrði:
- Lokun
- a • b er í G fyrir öll a og b í G.
- Tengni
- (a • b) • c = a • (b • c) fyrir öll a, b og c í G
- Hlutleysa
- Til er stak e í G þannig að e • a = a • e = a gildir fyrir öll stök a í G
- Andhverfa
- Fyrir gefið stak a í G er til stak b í G svo a • b = b • a = e.
Í mörgum kennslubókum um grúpufræði er tekið fram að tvíundaraðgerðin er lokuð með tilliti til þessarar aðgerðar, þ.e. fyrir öll a, b í G gildir að til er c í G þ.a. a • b = c. Hinsvegar er oftast innifalið í skilgreiningunni á tvíundaraðgerð að hún sé lokuð. Ef aðgerðin er víxlin, þ.e. fyrir öll a, b í G gildir að a • b = b • a, þá kallast grúpa víxlgrúpa eða Abel-grúpa, til heiðurs Niels Henrik Abel.
Tengt efni
Tilvísanir
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
