Regla Pýþagórasar

Regla Pýþagórasar,^[1]^[2] Pýþagórasarregla^[3] eða setning Pýþagórasar^[3] er regla í evklíðskri rúmfræði sem fjallar um tengslin milli lengda hliða í rétthyrndum þríhyrningi. Reglan er kennd við forngríska heimspekinginn, trúarleiðtogann og stærðfræðinginn Pýþagóras, þó að vitað sé að reglan hafi þekkst fyrir tíma hans bæði í Babýlóníu og Kína, en talið er að hann hafi verið fyrstur til að sanna að hún gilti fyrir alla rétthyrnda þríhyrninga.

Reglan er grundvallarregla í ýmsum rúmfræðireikningi, t.a.m. hnitarúmfræði og hornafræði.

Thumb — Mynd sem sýnir þrjá ferhyrninga sem mynda rétthyrndan þríhyrning sín á milli

Setningin segir að í rétthyrndum þríhyrning er summa ferninga skammhliðanna jöfn ferningnum á langhliðina.

Ef hliðarlengdir þríhyrningsins eru a, b, c, þar sem c er langhliðin, gildir því

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

Ef smíðaðir eru þrír ferningar, þar sem hver hinna þriggja hliða þríhyrningsins jafngildir hliðarlengd eins fernings, er samanlagt flatarmál minni ferninganna tveggja jafnt flatarmáli þess stærsta.

Til eru fjölmargar mismunandi sannanir á reglu Pýþagórasar^[4]. Eftirfarandi sönnun byggir á reglu um einslaga þríhyrninga.

Látum þríhyringinn ABC vera þannig að hornið C er rétt. Drögum línuna CX hornrétt á hliðina AB. Þá myndast tveir nýir þríhyrningar, ACX og CBX. Þessir þríhyrningar eru báðir einslaga þríhyrningnum ABC.

Þar sem ${\textstyle \triangle {ABC}\cong \triangle {CBX}}$ er ${\dfrac {BC}{AB}}={\dfrac {BX}{BC}}$ , og þar sem $\triangle {ABC}\cong \triangle {ACX}$ er ${\dfrac {AC}{AB}}={\dfrac {AX}{AC}}$ .