Sistem koordinat bola

Artikel utama: Bola (geometri) § Persamaan

Dalam matematika, Sistem Koordinat Bola adalah sistem koordinat yang digunakan untuk ruang tiga dimensi di mana posisi suatu titik ditentukan oleh tiga angka dari jarak radial titik tersebut dari titik asal tetap dan nilai sudut kutub tersebut yang diukur dari arah puncak yang tetap dan ketika sudut azimut tersebut dari hasil proyeksi ortogonal pada bidang referensi yang melewati asal dan ortogonal untuk zenit, diukur dari arah referensi tetap di pesawat itu. Ini dapat dilihat sebagai versi tiga dimensi dari sistem koordinat kutub.

Sistem koordinat bola (r, θ, φ) digunakan dalam bidang fisika (ISO 80000-2:2019): Jarak radial r, sudut θ (theta), dan sudut azimuthal φ (phi). Simbol ρ (rho) r.

Spherical coordinates (r, θ, φ) as often used in mathematics: radial distance r, azimuthal angle θ, and polar angle φ. The meanings of θ and φ have been swapped compared to the physics convention.

A globe showing the radial distance, polar angle and azimuthal angle of a point P with respect to a unit sphere, in the mathematics convention. In this image, r equals 4/6, θ equals 90°, and φ equals 30°.

Persamaan pada Sistem Koordinat Bola

Dua jari-jari ortogonal dari suatu bola

Lihat pula: Bola (geometri)

Dalam geometri analitik , bola dengan pusat (x₀, y₀, z₀) dan jari jari r adalah lokus titik (x, y, z) sedemikian rupa sehingga

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}$

biarkan a, b, c, d, e bilangan real dengan sebuah a ≠ 0 dan put

${\displaystyle x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac {-d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.}$

Lalu persamaan

${\displaystyle f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0}$

tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika ${\displaystyle \rho <0}$ dan disebut persamaan bola imajiner. Jika ${\displaystyle \rho =0}$, satu-satunya solusi ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$ adalah intinya ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ dan persamaannya disebut persamaan titik bola. Akhirnya, dalam kasus ini ${\displaystyle \rho >0}$, ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$ adalah persamaan bola yang pusatnya adalah ${\displaystyle P_{0}}$ dan yang radiusnya adalah ${\displaystyle {\sqrt {\rho }}}$.^[1]

Jika a dalam persamaan di atas adalah nol maka f(x, y, z) = 0 adalah persamaan suatu bidang. Dengan demikian, sebuah pesawat dapat dianggap sebagai bola jari-jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga.^[2]

Titik-titik di bola dengan jari-jari ${\displaystyle r>0}$ dan pusat ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ dapat diparameterisasi via

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad (0\leq \theta \leq \pi ,\;0\leq \varphi <2\pi )\\z&=z_{0}+r\cos \theta \,\end{aligned}}}$^[3]

Keliling ${\displaystyle \theta }$ dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah z positif- sumbu melalui pusat ke radius-vektor, dan keliling ${\displaystyle \varphi }$ dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah x- positif positif melalui pusat ke proyeksi vektor-jari-jari pada xy- plane.

Bola dari jari-jari yang berpusat di nol adalah permukaan integral dari bentuk diferensial berikut:

${\displaystyle x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.}$

Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik,(x, y, z) dan (dx, dy, dz), yang berjalan di bola selalu ortogonal satu sama lain.

Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar lingkaran tentang semua diameternya . Karena lingkaran adalah jenis elips khusus , bola adalah jenis elips khusus revolusi . Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya , bentuknya menjadi spheroid prolate ; diputar tentang sumbu minor, sebuah spheroid oblate.^[4]

Konveksi utama

Konveksi utama

Koordinat	arah geografis lokal yang sesuai (Z, X, Y)	Bagian ( Bahasa Inggris )
(r, θinc, φaz,right)	(U, S, E)	right
(r, φaz,right, θel)	(U, E, N)	right
(r, θel, φaz,right)	(U, N, E)	left

Dalam Koordinat Kartesius

Koordinat bola dari suatu titik dalam konvensi ISO anda bisa melihat catatan dibawah ini, yaitu (khususnya untuk fisika):

• r adalah jari-jari.
• a adalah kemiringan.
• φ adalah azimut koordinat Kartesius pada Koordinat Bola.

Anda dapat memporoleh dari hasil koordinat kartesius pada nilai ( x, y, z ) dengan rumusnya adalah:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\varphi &=\arctan {\frac {y}{x}},\\\theta &=\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\arccos {\frac {z}{r}}=\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}.\end{aligned}}}$

Garis singgung iversi dilambangkan dengan nilai φ = arctan yx harus didefinisikan dengan tepat cara mempertimbangkan kuadran yang benar dari nilai (x, y).

Sebaliknya, koordinat kartesius dapat diambil dari koordinat bola yaitu lihat catatan dibawah ini:

• r jari jari.
• θ inklinasi.
• φ azimut.

darimana r ∈ [0, ∞), θ ∈ [0, π], φ ∈ [0, 2π) adalah ...,oleh

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&=r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}}$

Sistem Koordinat Tabung

Templat:Stub-matematika

Artikel utama: Sistem Koordinat Tabung

---

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta &=\arctan {\frac {\rho }{z}}=\arccos {\frac {z}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}},\\\varphi &=\varphi .\end{aligned}}}$

---

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=r\sin \theta ,\\\varphi &=\varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}}$

---

Koordinat bola yang dimodifikasi

Kemungkinan cara modifikasi pada elipsoid adalah dengan menggunakan versi koordinat bola yang dimodifikasi.

Misalkan P adalah ellipsoid yang ditentukan oleh nilai level

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=d.}$

Koordinat yang dimodifikasi oleh koordinat bola dari titik P saat konvensi ISO dapat diperoleh dari koordinat kartesius pada nilai (x, y, z) oleh karena itu rumusnya adalah:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{\sqrt {a}}}r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&={\frac {1}{\sqrt {b}}}r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&={\frac {1}{\sqrt {c}}}r\cos \theta ,\\r&=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}.\end{aligned}}}$

Elemen volume yang sangat kecil diberikan oleh:

${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega .}$

Faktor akar kuadrat yang berasal dari properti determinan yang memungkinkan sebuah konstanta ditarik oleh kolom:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}ka&b&c\\kd&e&f\\kg&h&i\end{vmatrix}}=k{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}.}$

Integrasi dan diferensiasi dalam koordinat bola

- Dalam pengembangan -

Jarak dalam Koordinat Bulat

- Dalam pengembangan -

Kinematika

- Dalam pengembangan -

Referensi

2. Woods 1961, p. 266.
3. (Kreyszig 1972, hlm. 342).
4. Albert 2016, p. 60.