Kekisi lengkap

Dalam matematika, kisi lengkap adalah himpunan yang tersusun sebagian di mana semua himpunan bagian memiliki supremum (gabung) dan infimum (pertemuan). Kisi lengkap pada aplikasi dalam matematika dan ilmu komputer. Sebagai contoh khusus dari kisi, dengan teori urutan dan aljabar universal.

Kisi kompleks tidak disamakan dengan urutan parsial kompleks ( CPO ), yang merupakan kelas umum dari urutan himpunan sebagian. Kisi kompleks spesifik adalah aljabar Boolean kompleks dan aljabar Heyting kompleks ( lokal ).

Definisi formal

Himpunan sebagian sebagian (L, ≤) adalah kisi kompleks jika bagian A dari L dari kedua infimum (juga disebut ketemu) dan supremum (juga disebut bergabung) di ( L, ≤).

Bertemu dilambangkan dengan ${\displaystyle \bigwedge A}$, dan bergabung oleh ${\displaystyle \bigvee A}$.

Perhatikan bahwa dalam kasus khusus di mana A adalah himpunan kosong, pertemuan A akan menjadi elemen L terbesar. Demikian pula, gabungan dari himpunan kosong menghasilkan elemen terkecil . Karena definisi tersebut juga memastikan pertemuan dan gabungan biner, kisi kompleks membentuk kelas khusus kisi berbatas.

Implikasi lebih lanjut dari definisi di atas dibahas dalam artikel tentang sifat kompleks dalam teori urutan.

Semikisi kompleks

Dalam teori urutan, pertemuan arbitrer dapat diekspresikan dalam bentuk gabungan arbitrer (untuk detailnya, lihat kompleks (teori order)). Maka, berarti untuk pertemuan atau gabungan untuk kelas dari kisi kompleks.

Maka, penulis menggunakan istilah complete meet-semilattice atau complete join-semilattice sebagai cara lain untuk merujuk ke kisi kompleks. Meskipun serupa pada objek, istilah tersebut memerlukan pengertian homomorfisme berbeda, seperti dijelaskan bagian morfisme di bawah ini.

Penulis tidak menggunakan perbedaan morfisme (terutama konsep dari "morfisme semikisi kompleks" ditentukan secara umum). Maka, meet-semilattices kompleks didefinisikan sebagai meet-semilattices merupakan pesanan parsial lengkap . Konsep tersebut adalah gagasan "kompleks" dari semikisi-pertemuan yang belum menjadi kisi (pada kenyataannya, hanya elemen teratas yang bisa dihilangkan). Diskusi ini juga ditemukan di artikel semikisi.

Kisi bagian kompleks

Kisi bagian M dari kisi kompleks L disebut kisi bagian kompleks L jika untuk himpunan bagian A dari M elemen ${\displaystyle \bigwedge A}$ dan ${\displaystyle \bigvee A}$, sebagai definisi dalam L, maka dalam M. ^[1]

Jika di atas dikurangi sehingga hanya pertemuan tidak kosong dan gabungan L, kisi bagian M disebut kisi bagian tertutup dari M.

Contoh

• Kisi berhingga tidak kosong dari trivial.
• Himpunan daya dari himpunan, diurutkan dengan penyertaan. Supremum dari gabungan dan minimal dari irisan himpunan bagian.
• Interval satuan [0,1] dan garis bilangan real, dengan urutan total dikenal serta suprema dan infima biasa. Maka, himpunan dari total (dengan topologi) adalah kompak sebagai ruang topologi jika lengkap sebagai kisi.
• Bilangan bulat non-negatif, diurutkan berdasarkan pembagian. Elemen terkecil dari kisi ini adalah angka 1, karena angka ini membagi angka lainnya. Elemen terbesar adalah 0, karena dapat dibagi dengan bilangan lain. Supremum dari himpunan hingga dari kelipatan persekutuan terkecil dan paling kecil dari pembagi persekutuan terbesar. Untuk himpunan tak hingga, supremum 0 tak hingga lebih besar dari 1. Misalnya, himpunan bilangan genap dari 2 sebagai pembagi persekutuan terbesar. Jika 0 dihilangkan dari struktur ini, ia tetap menjadi kisi tetapi tidak lagi lengkap.
• Subgrup dari grup tertentu dalam inklusi. (Sementara infimum adalah potongan teori-himpunan biasa, supremum dari himpunan subgrup adalah subgrup dihasilkan dari satuan teori-himpunan dari subgrup, bukan satuan teori-himpunan). Jika e adalah identitas dari G, maka grup trivial { e } adalah subgrup minimum dari G, sedangkan subgrup maksimum adalah grup G.
• Submodul modul, diurutkan berdasarkan penyertaan. Supremum dari jumlah submodul dan infimum oleh persimpangan.
• Ideal dari sebuah gelanggang, dari inklusi. Supremum dari jumlah ideal dan minimal.
• Kumpulan ruang topologi terbuka, diurutkan dengan penyertaan. Supremum diberikan oleh penyatuan set terbuka dan infimum oleh interior persimpangan.
• Himpunan bagian cembung dari ruang vektor nyata atau kompleks, diurutkan berdasarkan penyertaan. Minimum diberikan oleh perpotongan himpunan cembung dan supremum oleh cembung persatuan.
• Topologi pada himpunan, diurutkan dengan penyertaan. Minimum diberikan oleh perpotongan topologi, dan supremum oleh topologi yang dihasilkan oleh penyatuan topologi.
• Kisi semua relasi transitif pada suatu himpunan.
• Kisi semua sub-multiset dari multiset .
• Kisi semua relasi ekivalen pada suatu himpunan; hubungan ekuivalensi ~ dianggap lebih kecil (atau "lebih halus") daripada ≈ jika x ~ y selalu berarti x ≈ y .
• Kisi proyeksi self-adjoint (juga dikenal sebagai proyeksi ortogonal) dari aljabar von Neumann.

Kisi kompleks yang terbatas secara lokal

Kisi kompleks L berhingga secara lokal jika supremum dari himpunan bagian tak hingga sama dengan 1, atau ekuivalen, himpunan ${\displaystyle \{y\in L~|~y\leq x\}\,\!}$ hingga untuk ${\displaystyle 1\neq x\in L}$ . Kisi ( N, |) hingga secara lokal. Perhatikan bahwa dalam kisi, elemen yang umumnya dilambangkan dengan "0" sebenarnya adalah 1 dan sebaliknya.

Morfisme kisi kompleks

Morfisme tradisional antara kisi kompleks adalah homomorfisme kompleks (atau homomorfisme kisi kompleks). Ditandai sebagai fungsi lestari dari gabungan dan pertemuan. Secara eksplisit, ini berarti bahwa fungsi f: L → M antara dua kisi kompleks L dan M adalah homomorfisme kompleks jika

• ${\displaystyle f\left(\bigwedge A\right)=\bigwedge \{f(a)\mid a\in A\}}$ dan
• ${\displaystyle f\left(\bigvee A\right)=\bigvee \{f(a)\mid a\in A\}}$

untuk himpunan bagian A dari L. Fungsi monotonik menjadi homomorfisme kompleks sebenarnya jauh lebih spesifik. Untuk alasan, akan berguna untuk mempertimbangkan pengertian morfisme lemah, hanya diperlukan untuk mempertahankan gabungan (kategori Sup) atau semua pertemuan (kategori Inf), merupakan kondisi yang tidak setara. Gagasan tersebut dianggap sebagai homomorfisme meet-semilattices lengkap atau complete join-semilattices.

Konstruksi dan penyelesaian bebas

Seperti biasa, konstruksi objek bebas bergantung pada kelas morfisme yang dipilih. Maka pertimbangkan dulu fungsi semua gabungan (yaitu adjoin yang lebih rendah dari koneksi Galois), karena kasus ini lebih sederhana dari situasi untuk homomorfisme kompleks. Menggunakan terminologi yang disebutkan di atas, ini bisa disebut sebagai join-semilattice kompleks bebas.

Menggunakan definisi standar dari aljabar universal, kisi kompleks bebas di atas himpunan pembangkit S adalah kisi kompleks L dengan fungsi i : S → L, sehingga fungsi f dari S ke himpunan yang mendasari beberapa kisi kompleks M dapat difaktorkan secara unik melalui morfisme f ° dari L ke M. Dinyatakan secara berbeda, untuk elemen s dari S bahwa f ( s ) = f ° ( i ( s )) dan f ° adalah morfisme dengan sifat. Pada dasarnya sama dengan funktor dari kategori himpunan dan fungsi ke kategori kisi lengkap dan fungsi menjaga gabungan yang dibiarkan berdampingan dengan funktor fogetful dari kisi lengkap ke himpunan dasar.

Kisi kompleks bebas dalam pengertian dapat dibuat dengan: kisi kompleks yang dihasilkan oleh beberapa himpunan S pangkat 2 ^S, yaitu himpunan dari semua himpunan bagian S, diurutkan berdasarkan penyertaan himpunan bagian. Satuan yang digunakan i: S → 2 ^S memetakan setiap elemen s dari S ke tunggal himpunan {s}. Diketahui pemetaan f di atas, fungsi f °: 2 ^S → M ditentukan oleh

${\displaystyle f^{\circ }(X)=\bigvee \{f(s)|s\in X\}}$

Pertimbangan pula menghasilkan konstruksi bebas untuk morfisme pertemuan, bukan gabungan (yaitu sambungan atas dari sambungan Galois). Maka, menggandakan dari objek bebas sebagai rangkaian pangkat yang diurutkan dengan inklusi terbalik, sehingga himpunan union menyediakan operasi meet, dan fungsi f ° didefinisikan dalam istilah meet, bukan join. Hasil dari konstruksi ini dapat disebut pertemuan semilattice lengkap bebas. Kita juga harus memperhatikan bagaimana konstruksi gratis ini memperluas yang digunakan untuk mendapatkan semilattice bebas, di mana kita hanya perlu mempertimbangkan himpunan hingga.

Hasil lebih lanjut

Selain hasil representasi sebelumnya, ada beberapa pernyataan lain yang dapat dibuat tentang kisi lengkap, atau yang mengambil bentuk yang sangat sederhana dalam kasus ini. Contohnya adalah teorema Knaster–Tarski, yang menyatakan bahwa himpunan titik tetap dari fungsi monoton pada kisi lengkap sekali lagi merupakan kisi kompleks. Dengan mudah dilihat sebagai generalisasi dari pengamatan di atas tentang gambar fungsi meningkat dan idempoten, karena ini adalah contoh dari teorema.

Lihat pula

• Kisi (urutan)

Referensi

1. Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 (A monograph available free online).