Loading AI tools
Dari Wikipedia, ensiklopedia bebas
Dalam matematika, irisan dari dua himpunan dan adalah himpunan yang memuat semua anggota dari juga milik (atau, semua anggota dari yang juga milik ).[1] Irisan dari kedua himpunan tersebut dinyatakan secara matematis:[2][3]
Irisan ditulis menggunakan simbol "∩" di antara ekspresi berupa kumpulan anggota-anggota, dalam notasi infiks. Berikut adalah contoh-contohnya:
Ketika irisan terjadi lebih dari dua himpunan (irisan yang diperumum), notasinya mirip seperti notasi Sigma, yang ditulis sebagai
Irisan dari dua himpunan dan , dilambangkan dengan ,[2][4] merupakan himpunan dari semua objek yang merupakan anggota dari kedua himpunan dan . Secara matematis, ditulis
Hal ini mengartikan bahwa adalah anggota dari irisan jika dan hanya jika adalah anggota dari dan anggota dari .[4] Sebagai contohː
Himpunan dikatakan beririsan dengan himpunan jika terdapat yang merupakan anggota dari himpunan dan .
Himpunan dan dikatakan saling lepas jika tidak beririsan dengan . Penjelasan yang lebih sederhananya, kedua himpunan tersebut tidak memiliki anggota yang sama. Himpunan dan saling lepas jika irisannya adalah kosong, dilambangkan .
Sebagai contoh, himpunan dan saling lepas, sedangkan himpunan bilangan genap beririsan dengan himpunan kelipatan dari 3 di himpunan kelipatan 6.
Sifat-sifat tersebut bersesuaian dengan logika konjungsi
Perumuman gagasan irisan adalah irisan sebarang kumpulan takkosong himpunan-himpunan. Jika adalah himpunan bukan kosong yang anggotanya adalah himpunan juga, maka adalah anggota dari irisan dari jika dan hanya jika untuk setiap anggota dari , adalah sebuah anggota dari . Secara matematis ditulisː
Notasi mengenai konsep terakhir ini dapat ditulis dengan berbagai cara. Sebagian pakar teori himpunan terkadang menulis , sementara yang lainnya menulis . Penulisan notasi terakhir dapat diperumum menjadi , yang mengacu pada irisan kumpulan . Dalam notasi terakhir itu, adalah himpunan takkosong, dan adalah sebuah himpunan dari setiap dalam .
Pada sebuah kasus bahwa himpunan indeks adalah himpunan bilangan asli, notasi irisan sembarang mirip dengan notasi darab takterhingga.
Notasi tersebut juga dapat ditulis .
Perhatikan bahwa dalam bagian sebelumnya, kita mengecualikan kasus untuk adalah himpunan kosong (). Alasannya adalah bahwa Irisan dari kumpulan didefinisikan sebagai himpunan (lihat notasi ungkapan himpunan)
Jika kosong, maka tidak ada himpunan dalam . Hal ini memunculkan sebuah pertanyaan: " manakah yang memenuhi syarat yang disebutkan?". Jawabannya bisa saja untuk setiap kemungkinan . Ketika kosong, syarat yang disebutkan di atas merupakan sebuah contoh dari kebenaran yang hampa. Jadi, irisan dari keluarga kosong harus berupa himpunan semesta (anggota identitas untuk operasi dari irisan) [5], namun dalam teori himpunan (Zermelo-Fraenkel) standar, himpunan semesta tidak ada.