Grup abelian bebas

Dalam matematika, grup abelian bebas atau modul Z bebas adalah grup abelian dengan basis, atau, ekuivalen, modul bebas di atas bilangan bulat. Menjadi grup abelian berarti bahwa ini adalah himpunan dengan operasi penjumlahan yaitu asosiatif, komutatif, dan dapat dibalik. Basis adalah himpunan bagian sehingga setiap elemen grup dapat diekspresikan secara unik sebagai kombinasi linear elemen basis dengan koefisien bilangan bulat. Misalnya, bilangan bulat dengan penjumlahan membentuk grup abelian gratis dengan basis {1}. Grup abelian bebas memiliki properti yang membuatnya mirip dengan ruang vektor. Mereka memiliki aplikasi di topologi aljabar, di mana mereka digunakan untuk mendefinisikan grup kaidah, dan di geometri aljabar, di mana mereka digunakan untuk mendefinisikan pembagi. Kisi bilangan bulat juga merupakan contoh dari kelompok abelian bebas, dan teori kisi mempelajari subkelompok ruang vektor nyata abelian bebas.

Artikel ini bukan mengenai Grup bebas.

Unsur-unsur dari kelompok abelian bebas dengan basis B dapat dijelaskan dengan beberapa cara yang setara. Hal ini termasuk jumlah formal di atas B , yang merupakan ekspresi dari formulir ${\displaystyle \sum a_{i}b_{i}}$ dimana masing-masing koefisien a_i adalah bilangan bulat bukan nol, masing-masing faktor b_i adalah elemen dasar yang berbeda, dan jumlahnya memiliki banyak suku yang tak terhingga. Atau, unsur-unsur dari kelompok abelian bebas dapat dianggap sebagai bertanda multi himpunan yang mengandung banyak unsur B , dengan banyaknya elemen dalam multiset sama dengan koefisiennya dalam jumlah formal. Cara lain untuk merepresentasikan elemen dari grup abelian bebas adalah sebagai fungsi dari B ke bilangan bulat dengan banyak nilai bukan nol; untuk representasi fungsional ini, operasi grup adalah penambahan fungsi searah.

Setiap set B memiliki grup abelian bebad dengan B sebagai dasarnya. Grup ini unik dalam arti bahwa setiap dua grup abelian bebas dengan basis yang sama adalah isomorfik. Alih-alih membangunnya dengan mendeskripsikan elemen individualnya, grup bebas dengan basis B dapat dibuat sebagai jumlah langsung salinan grup aditif dari bilangan bulat, dengan satu salinan per anggota B . Sebagai alternatif, grup abelian gratis dengan basis B dapat dijelaskan dengan presentasi dengan elemen B sebagai generatornya dan dengan komutator pasangan anggota sebagai relatornya. Pangkat dari grup abelian bebas adalah kardinalitas suatu basis; setiap dua basis untuk grup yang sama memberikan peringkat yang sama, dan setiap dua grup abelian gratis dengan peringkat yang sama adalah isomorfik. Setiap subkelompok dari grup abelian gratis adalah abelian gratis itu sendiri; fakta ini memungkinkan grup abelian umum dipahami sebagai hasil bagi dari grup abelian bebas dengan "relasi", atau sebagai kokernel dari homomorphism antara kelompok abelian bebas. Satu-satunya grup abelian gratis yang merupakan grup bebas adalah grup trivial dan grup siklik tak hingga.

Contoh dan konstruksi

Bilangan bulat dan kisi

Kisi di bidang Euklides. Menambahkan dua titik kisi biru akan menghasilkan titik kisi lainnya; grup yang dibentuk oleh operasi penambahan ini adalah grup abelian bebad

Integer, di bawah operasi penjumlahan, membentuk grup abelian bebas dengan basis {1}. Setiap bilangan bulat n adalah kombinasi linear elemen basis dengan koefisien bilangan bulat: yaitu, n = n × 1, dengan koefisien n .

Kisi bilangan bulat dua dimensi, terdiri dari titik-titik pada bidang dengan bilangan bulat koordinat kartesius, membentuk grup abelian gratis di bawah penambahan vektor dengan basis {(0,1), (1,0)}.^[1] Maka vektor basis ini dilambangkan ${\displaystyle \ e_{1}=(1,0)}$ dan ${\displaystyle \ e_{2}=(0,1)}$, elemen (4,3) dapat ditulis

${\displaystyle \ (4,3)=4e_{1}+3e_{2}}$ dimana 'perkalian' didefinisikan sehingga ${\displaystyle \ 4e_{1}:=e_{1}+e_{1}+e_{1}+e_{1}.}$

Dengan dasar ini, tidak ada cara lain untuk menulis (4,3). Namun dengan basis yang berbeda seperti {(1,0), (1,1)}, di mana ${\displaystyle \ f_{1}=(1,0)}$ dan ${\displaystyle \ f_{2}=(1,1)}$, maka hal itu bisa ditulis sebagai

${\displaystyle \ (4,3)=f_{1}+3f_{2}.}$

Secara lebih umum, setiap kisi membentuk grup abelian gratis dihasilkan dengan baik.^[2] Kisi-kisi bilangan bulat berdimensi d memiliki basis alami yang terdiri dari bilangan bulat positif vektor satuan, tetapi memiliki banyak basis lain juga: jika M adalah matriks integer d × d dengan determinan ± 1, maka baris M membentuk basis, dan sebaliknya setiap basis dari integer kisi memiliki bentuk ini.^[3] Untuk lebih lanjut tentang kasus dua dimensi, lihat pasangan periode fundamental.

Jumlah langsung, produk langsung, dan grup trivial

produk langsung dari dua grup abelian bebas itu sendiri adalah abelian gratis, dengan basis persatuan disjoint dari basis kedua grup.^[4] Secara umum, produk langsung dari beberapa grup abelian gratis yang jumlahnya terbatas adalah abelian gratis. Kisi bilangan bulat berdimensi d , misalnya, isomorfik terhadap produk langsung dari salinan d dari grup bilangan bulat Z.

Grup sepele {0} juga dianggap abelian gratis, dengan basis himpunan kosong.^[5] Ini dapat diartikan sebagai produk langsung dari nol salinan Z.

Untuk rumpun tak terbatas dari grup abelian gratis, produk langsung (rumpun tupel elemen dari masing-masing grup, dengan penambahan pointwise) belum tentu abelian bebas.^[4] Misalnya grup Baer–Specker ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$, sebuah kelompok tak terhitung dibentuk sebagai produk langsung dari terhitung banyak salinan ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, ditunjukkan pada tahun 1937 oleh Reinhold Baer untuk tidak menjadi abelian bebas;^[6] Ernst Specker membuktikan pada tahun 1950 bahwa setiap subkelompok yang dapat dihitung dari ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$ adalah abelian bebas.^[7] jumlah langsung dari banyak grup hingga sama dengan produk langsung, tetapi berbeda dari produk langsung pada jumlah penjumlahan tak terbatas; unsur-unsurnya terdiri dari tupel unsur-unsur dari setiap kelompok dengan semua tetapi banyak dari mereka terbatas sama dengan unsur identitas. Seperti dalam kasus jumlah penjumlahan yang terbatas, jumlah langsung dari banyak kelompok abelian bebas yang tak terhingga tetap menjadi abelian bebas, dengan dasar yang dibentuk oleh (gambar dari) persatuan terputus dari dasar-dasar sumand.^[4]

produk tensor dari dua grup abelian bebas selalu merupakan abelian gratis, dengan basis produk Kartesius dari basis untuk dua grup dalam produk.^[8]

Setiap grup abelian gratis dapat digambarkan sebagai jumlah langsung dari salinan ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, dengan satu salinan untuk setiap anggota dasarnya.^[9][10] Konstruksi ini memungkinkan himpunan B menjadi dasar dari grup abelian bebas.^[11]

Fungsi bilangan bulat dan jumlah formal

Diberikan himpunan B , seseorang dapat mendefinisikan grup ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ yang elemennya adalah fungsi dari B ke bilangan bulat, di mana tanda kurung di superskrip menunjukkan bahwa hanya fungsi dengan banyak nilai bukan nol yang disertakan. Jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi seperti itu, maka f + g adalah fungsi yang nilainya merupakan penjumlahan dari nilai dalam f dan g : yaitu, (f + g)(x) = f(x) + g(x) . Operasi penambahan searah ini menghasilkan ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ struktur grup abelian.^[12]

Setiap elemen x dari himpunan B yang diberikan sesuai dengan anggota ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$, fungsi e _x yang untuk e_x(x) = 1 dan untuk e_x(y) = 0 pada y ≠ x. Every function f in ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ adalah kombinasi linear yang unik dari sejumlah elemen basis yang terbatas:

${\displaystyle f=\sum _{\{x\mid f(x)\neq 0\}}f(x)e_{x}}$

Jadi, elemen e _x ini membentuk dasar untuk ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$, and ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ adalah grup abelian gratis. Dengan cara ini, setiap himpunan B dapat dijadikan basis grup abelian bebas.^[12]

Istilah

Setiap kelompok abelian dapat dianggap sebagai modul di atas bilangan bulat dengan mempertimbangkan perkalian skalar dari anggota kelompok dengan bilangan bulat yang didefinisikan sebagai berikut:^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}0\,x&=0\\1\,x&=x\\n\,x&=x+(n-1)\,x\qquad {\text{if}}\quad n>1\\n\,x&=-((-n)\,x)\qquad {\text{if}}\quad n<0\end{aligned}}}$

Sebuah modul bebas adalah modul yang dapat direpresentasikan sebagai jumlah langsung di atas cincin dasarnya, jadi grup abelian bebas dan modul ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ adalah konsep yang setara: setiap grup abelian bebas (dengan operasi perkalian di atas) adalah bebas ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, dan modul ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ berasal dari grup abelian bebas dengan cara ini.^[14]

Tidak seperti ruang vektor, tidak semua grup abelian memiliki basis, oleh karena itu nama khusus untuk grup yang memilikinya. Misalnya, torsi modul ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, dan dengan demikian setiap grup abelian terbatas, bukanlah grup abelian bebas, karena 0 dapat diuraikan dalam beberapa cara pada kumpulan elemen apa pun yang dapat menjadi kandidat untuk basis: ${\displaystyle 0=0\,b=n\,b}$ untuk beberapa bilangan bulat positif n . Di sisi lain, banyak properti penting dari grup abelian gratis dapat digeneralisasikan ke modul gratis melalui domain ideal utama.^[15]

Perhatikan bahwa grup abelian bebad adalah bukan sebuah grup bebas kecuali dalam dua kasus: grup abelian bebad memiliki basis kosong (peringkat 0, memberikan grup sepele) atau hanya memiliki 1 elemen dalam basis (peringkat 1, memberikan grup siklik tak hingga).^[5][16] Other kelompok abelian bukanlah kelompok bebas karena dalam kelompok bebas ab harus berbeda dengan ba jika a dan b adalah elemen dasar yang berbeda, sedangkan dalam kelompok abelian bebas mereka harus identik. Grup bebas adalah objek bebas dalam kategori grup, yaitu grup "paling umum" atau "paling tidak dibatasi" dengan jumlah generator tertentu, sedangkan grup abelian gratis adalah objek gratis di kategori grup abelian.^[17] Dalam kategori umum grup, ini merupakan kendala tambahan untuk menuntut ab = ba , sedangkan ini adalah properti yang diperlukan dalam kategori grup abelian.

Sifat

Sifat universal

Grup abelian gratis ${\displaystyle F}$ dengan basis ${\displaystyle B}$ memiliki sifat universal berikut ini: untuk setiap fungsi ${\displaystyle f}$ dari ${\displaystyle B}$ ke grup abelian ${\displaystyle A}$, terdapat homomorfisme grup unik dari ${\displaystyle F}$ menjadi ${\displaystyle A}$ yang memperluas ${\displaystyle f}$.^[5] Dengan properti umum properti universal, ini menunjukkan bahwa "" grup abelian basis ${\displaystyle B}$ unik hingga sebuah isomorfisme. Oleh karena itu, properti universal dapat digunakan sebagai definisi dari grup abelian gratis berbasis ${\displaystyle B}$. Keunikan grup yang ditentukan oleh properti ini menunjukkan bahwa semua definisi lainnya setara.^[11]

Peringkat

Setiap dua basis dari grup abelian bebas yang sama memiliki kardinalitas yang sama, sehingga kardinalitas basis membentuk invarian grup yang dikenal sebagai pangkatnya.^[18][19] Secara khusus, grup abelian gratis adalah dihasilkan secara hingga jika dan hanya jika ranknya adalah bilangan terbatas n , dalam hal ini grup tersebut isomorfik pada ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$.

Pengertian pangkat ini bisa digeneralisasikan, dari kelompok abelian bebas sampai kelompok abelian yang belum tentu bebas. Peringkat grup abelian G didefinisikan sebagai peringkat subgrup abelian bebas F dari G yang grup hasil bagi G / F adalah grup torsi. Sama halnya, itu adalah kardinalitas dari subset maksimal dari G yang menghasilkan subgrup bebas. Sekali lagi, ini adalah grup yang tidak berubah; itu tidak tergantung pada pilihan subgrup.^[20]

Subgrup

Setiap subgrup dari grup abelian gratis itu sendiri merupakan grup abelian gratis. Hasil dari Richard Dedekind^[21] adalah pendahulu dari analogi teorema Nielsen–Schreier bahwa setiap subkelompok dari grup bebas adalah bebas, dan merupakan generalisasi dari fakta bahwa setiap subgrup nontrivial dari grup siklik tak hingga adalah siklik tak hingga. Buktinya membutuhkan aksioma pilihan.^[22] Bukti menggunakan lemma Zorn (salah satu dari banyak asumsi yang setara dengan aksioma pilihan) dapat ditemukan pada 'Aljabar' Serge Lang.^[23] Solomon Lefschetz dan Irving Kaplansky telah mengklaim bahwa menggunakan prinsip tertata dengan baik sebagai pengganti lemma Zorn mengarah pada bukti yang lebih intuitif.^[10]

Dalam kasus grup abelian bebas yang dihasilkan secara terbatas, pembuktiannya lebih mudah, tidak memerlukan aksioma pilihan, dan mengarah ke hasil yang lebih tepat. Jika ${\displaystyle G}$ adalah subgrup dari grup abelian gratis yang dibuat secara terbatas ${\displaystyle F}$, maka ${\displaystyle G}$ adalah gratis dan ada basisnya ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ dari ${\displaystyle F}$ dan bilangan bulat positif ${\displaystyle d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}}$ (yaitu, masing-masing membagi yang berikutnya) sehingga ${\displaystyle (d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})}$ adalah dasar dari ${\displaystyle G.}$ Selain itu, urutannya ${\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}}$ hanya bergantung pada ${\displaystyle F}$ dan ${\displaystyle G}$ dan bukan pada dasar tertentu ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ yang memecahkan masalah.^[24] Sebuah bukti konstruktif dari bagian keberadaan teorema disediakan oleh algoritma apa pun yang menghitung bentuk normal Smith dari matriks bilangan bulat.^[25] Keunikan mengikuti dari fakta bahwa, untuk ${\displaystyle r\leq k}$, pembagi persekutuan terbesar dari anak di bawah umur pangkat ${\displaystyle r}$ dari matriks tidak berubah selama penghitungan bentuk normal Smith dan merupakan hasilkali ${\displaystyle d_{1}\cdots d_{r}}$ 0ada akhir penghitungan.^[26]

Karena setiap grup abelian yang dihasilkan secara hingga adalah hasil bagi dari grup abelian gratis yang dihasilkan secara terbatas oleh sebuah submodul, teorema fundamental grup abelian yang dihasilkan secara hingga adalah akibat wajar dari hasil di atas.

Torsi dan pembagian

Semua grup abelian gratis adalah bebas torsi, artinya tidak ada elemen grup (non-identitas) ${\displaystyle x}$ dan integer bukan nol ${\displaystyle n}$ semacam itu bahwa ${\displaystyle nx=0}$. Sebaliknya, semua grup abelian bebas torsi yang dihasilkan tanpa batas adalah abelian bebas.^[5][27] Hal yang sama berlaku untuk kerataan, karena grup abelian bebas torsi jika dan hanya jika datar.

Kelompok aditif dari bilangan rasional ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ memberikan contoh grup abelian bebas torsi (tetapi tidak dihasilkan secara hingga) yang bukan abelian gratis.^[28] Salah satu alasannya ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ tidak abelian gratis adalah bahwa itu habis dibagi, artinya, untuk setiap elemen ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ dan setiap bilangan bulat bukan nol ${\displaystyle n}$, dimungkinkan untuk mengekspresikan ${\displaystyle x}$ sebagai beberapa skalar ${\displaystyle ny}$ dari elemen lain ${\displaystyle y=x/n}$. Sebaliknya, kelompok abelian bebas bukan nol tidak pernah dapat dibagi, karena tidak mungkin salah satu elemen dasarnya menjadi kelipatan bilangan bulat nontrivial dari elemen lain.^[29]

Kaitannya dengan grup abelian lainnya

Diberikan grup abelian arbitrer ${\displaystyle A}$, selalu ada grup abelian gratis ${\displaystyle F}$ dan perkiraan homomorfisme grup dari ${\displaystyle F}$ hingga ${\displaystyle A}$. Salah satu cara untuk membuat suatu perkiraan ke grup tertentu ${\displaystyle A}$ adalah karena ${\displaystyle F=\mathbb {Z} ^{(A)}}$ jadilah grup abelian gratis di atas ${\displaystyle A}$, direpresentasikan sebagai jumlah formal. Kemudian perkiraan dapat ditentukan dengan memetakan jumlah formal di ${\displaystyle F}$ ke jumlah anggota ${\displaystyle A}$ yang sesuai. Artinya, peta perkiraan

${\displaystyle \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}e_{x}\mapsto \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}x,}$

dimana ${\displaystyle a_{x}}$ adalah koefisien bilangan bulat dari elemen basis ${\displaystyle e_{x}}$ dalam jumlah formal tertentu, jumlah pertama di ${\displaystyle F}$, dan jumlah kedua di ${\displaystyle A}$.^[19][30] Perkiraan ini adalah homomorfisme grup unik yang memperluas fungsi ${\displaystyle e_{x}\mapsto x}$, dan konstruksinya dapat dilihat sebagai contoh dari sifat universal.

Jika ${\displaystyle F}$ dan ${\displaystyle A}$ seperti di atas, kernel ${\displaystyle G}$ dari perkiraan dari ${\displaystyle F}$ to ${\displaystyle A}$ juga bebas abelian, karena ini adalah subgrup ${\displaystyle F}$ (subgrup elemen yang dipetakan ke identitas). Oleh karena itu, grup ini membentuk urutan persis pendek

${\displaystyle 0\to G\to F\to A\to 0}$

di mana ${\displaystyle F}$ dan ${\displaystyle G}$ keduanya abelian gratis dan ${\displaystyle A}$ isomorfik ke grup faktor ${\displaystyle F/G}$. Ini adalah resolusi bebas dari ${\displaystyle A}$.^[31] Furthermore, assuming the axiom of choice,^[32] grup abelian gratis tepatnya adalah objek proyektif dalam kategori grup abelian.^[33]

Aplikasi

Topologi aljabar

Artikel utama: Kaidah (topologi aljabar)

Dalam topologi aljabar, jumlah formal dimensi-${\displaystyle k}$ kesederhanaan disebut kaidah-${\displaystyle k}$, dan grup abelian gratis yang memiliki kumpulan ${\displaystyle k}$ sebagai dasarnya disebut grup berkaidah. Kesederhanaan umumnya diambil dari beberapa ruang topologi, misalnya sebagai himpunan ${\displaystyle k}$ dalam kompleks sederhana, atau himpunan singular ${\displaystyle k}$ dalam sebuah manifold. Simpleks berdimensi ${\displaystyle k}$ apa pun memiliki batas yang dapat direpresentasikan sebagai jumlah formal dari kesederhanaan dimensi ${\displaystyle (k-1)}$, dan properti universal grup abelian gratis memungkinkan operator batas ini diperluas ke homomorfisme grup dari ${\displaystyle k}$ ke ${\displaystyle (k-1)}$. Sistem grup rantai yang dihubungkan oleh operator batas dengan cara ini membentuk kompleks rantai, dan studi kompleks rantai membentuk dasar dari teori homologi.^[34]

Artikel utama: Pembagi (geometri aljabar)

Fungsi rasional ${\displaystyle z^{4}/(z^{4}-1)}$ memiliki nol berorde empat di 0 (titik hitam di tengah plot), dan kutub sederhana di empat bilangan kompleks ${\displaystyle \pm 1}$ dan ${\displaystyle \pm i}$ (titik putih di ujung empat kelopak). Ini dapat direpresentasikan (hingga skalar) oleh pembagi ${\displaystyle 4e_{0}-e_{1}-e_{-1}-e_{i}-e_{-i}}$ dimana ${\displaystyle e_{z}}$ adalah elemen dasar untuk bilangan kompleks ${\displaystyle z}$ dalam grup abelian bebas di atas bilangan kompleks.

Lihat pula

• Grup gelanggang, gelanggang ditentukan dengan menggabungkan grup perkalian dan gelanggang lain; ketika gelanggang penentu adalah bilangan bulat, grup aditif dari gelanggang grup adalah grup abelian bebas di atas grup penentu.^[35]

Referensi

1. Johnson, D. L. (2001), Symmetries, Springer undergraduate mathematics series, Springer, hlm. 193, ISBN 9781852332709.
2. Mollin, Richard A. (2011), Advanced Number Theory with Applications, CRC Press, hlm. 182, ISBN 9781420083293.
3. Bremner, Murray R. (2011), Lattice Basis Reduction: An Introduction to the LLL Algorithm and Its Applications, CRC Press, hlm. 6, ISBN 9781439807026.
4. (Hungerford 1974), Exercise 5, p. 75.
5. Lee, John M. (2010), "Free Abelian Groups", Introduction to Topological Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 202 (edisi ke-2nd), Springer, hlm. 244–248, ISBN 9781441979407.
6. Baer, Reinhold (1937), "Abelian groups without elements of finite order", Duke Mathematical Journal, 3 (1): 68–122, doi:10.1215/S0012-7094-37-00308-9, hdl:10338.dmlcz/100591 , MR 1545974.
7. Specker, Ernst (1950), "Additive Gruppen von Folgen ganzer Zahlen", Portugaliae Math., 9: 131–140, MR 0039719.
8. Corner, A. L. S. (2008), "Groups of units of orders in Q-algebras", Models, modules and abelian groups, Walter de Gruyter, Berlin, hlm. 9–61, doi:10.1515/9783110203035.9, MR 2513226. Lihat secara khusus bukti Lemma H.4, p. 36, which uses this fact.
9. Mac Lane, Saunders (1995), Homology, Classics in Mathematics, Springer, hlm. 93, ISBN 9783540586623.
10. Kaplansky, Irving (2001), Set Theory and Metric Spaces, AMS Chelsea Publishing Series, 298, American Mathematical Society, hlm. 124–125, ISBN 9780821826942.
11. Hungerford, Thomas W. (1974), "II.1 Free abelian groups", Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 73, Springer, hlm. 70–75, ISBN 9780387905181. Lihat khususnya Teorema 1.1, hlm. 72–73, dan keterangan yang mengikutinya.
12. Joshi, K. D. (1997), Applied Discrete Structures, New Age International, hlm. 45–46, ISBN 9788122408263.
13. Sahai, Vivek; Bist, Vikas (2003), Algebra, Alpha Science Int'l Ltd., hlm. 152, ISBN 9781842651575.
14. Rotman, Joseph J., Advanced Modern Algebra, American Mathematical Society, hlm. 450, ISBN 9780821884201.
15. Misalnya, submodul modul gratis di atas domain ideal utama adalah gratis, faktanya (Hatcher 2002) menulis memungkinkan untuk "generalisasi otomatis" mesin homologi untuk modul ini. Selain itu, teorema bahwa setiap proyektif modul ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ adalah generalisasi bebas dengan cara yang sama (Vermani 2004). Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press, hlm. 196, ISBN 9780521795401. Vermani, L. R. (2004), An Elementary Approach to Homological Algebra, Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, CRC Press, hlm. 80, ISBN 9780203484081.
16. (Hungerford 1974), Latihan 4, hal. 75.
17. (Hungerford 1974), p. 70.
18. (Hungerford 1974), Theorem 1.2, p. 73.
19. Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney A. (2006), The Structure of Compact Groups: A Primer for Students - A Handbook for the Expert, De Gruyter Studies in Mathematics, 25 (edisi ke-2nd), Walter de Gruyter, hlm. 640, ISBN 9783110199772.
20. Rotman, Joseph J. (1988), An Introduction to Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics, 119, Springer, hlm. 61–62, ISBN 9780387966786.
21. Johnson, D. L. (1980), Topics in the Theory of Group Presentations, London Mathematical Society lecture note series, 42, Cambridge University Press, hlm. 9, ISBN 978-0-521-23108-4.
22. (Blass 1979), Contoh 7.1, memberikan model teori himpunan, dan grup abelian proyektif non-bebas ${\displaystyle P}$ dalam model ini yang merupakan subgrup dari grup abelian bebas ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ^{(A)}\right)^{n}}$, di mana ${\displaystyle A}$ adalah sekumpulan atom dan ${\displaystyle n}$ adalah bilangan bulat terbatas. Dia menulis bahwa model ini menjadikan penggunaan pilihan penting dalam membuktikan bahwa setiap grup proyektif adalah bebas; dengan alasan yang sama, hal ini juga menunjukkan bahwa pilihan adalah penting untuk membuktikan bahwa subgrup dari kelompok bebas itu bebas. Blass, Andreas (1979), "Injectivity, projectivity, and the axiom of choice", Transactions of the American Mathematical Society, 255: 31–59, doi:10.1090/S0002-9947-1979-0542870-6 , JSTOR 1998165, MR 0542870.
23. Appendix 2 §2, page 880 of Templat:Lang Algebra.
24. (Hungerford 1974), Theorem 1.6, p. 74.
25. (Johnson 2001), pp. 71–72.
26. Norman, Christopher (2012), "1.3 Uniqueness of the Smith Normal Form", Finitely Generated Abelian Groups and Similarity of Matrices over a Field, Springer undergraduate mathematics series, Springer, hlm. 32–43, ISBN 9781447127307.
27. (Hungerford 1974), Exercise 9, p. 75.
28. (Hungerford 1974), Exercise 10, p. 75.
29. (Hungerford 1974), Exercise 4, p. 198.
30. (Hungerford 1974), Theorem 1.4, p. 74.
31. Vick, James W. (1994), Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics, 145, Springer, hlm. 70, ISBN 9780387941264, diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-08-09, diakses tanggal 2020-12-15.
32. Teorema bahwa kelompok abelian bebas bersifat projektif setara dengan aksioma pilihan; Lihat Moore, Gregory H. (2012), Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence, Courier Dover Publications, hlm. xii, ISBN 9780486488417.
33. Phillip A. Griffith (1970), Infinite Abelian group theory, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, hlm. 18, ISBN 0-226-30870-7.
34. Edelsbrunner, Herbert; Harer, John (2010), Computational Topology: An Introduction, American Mathematical Society, hlm. 79–81, ISBN 9780821849255.
35. Stein, Sherman K.; Szabó, Sándor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry, Carus Mathematical Monographs, 25, Washington, DC: Mathematical Association of America, hlm. 198, ISBN 0-88385-028-1, MR 1311249