Fungsi rasional

Dalam matematika, fungsi rasional adalah fungsi yang dapat didefinisikan dengan fraksi rasional dalam fraksi aljabar sehingga pembilang dan penyebutnya adalah polinomial.

Definisi

Sebuah fungsi ${\displaystyle f(x)}$ disebut fungsi rasional jika dan hanya jika fungsi tersebut dapat ditulis dalam bentuk

${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}$

di mana ${\displaystyle P\,}$ dan ${\displaystyle Q\,}$ adalah polinomial dari ${\displaystyle x\,}$ dan ${\displaystyle Q\,}$ bukan fungsi nol. Domain dari ${\displaystyle f\,}$ adalah himpunan semua nilai ${\displaystyle x\,}$ untuk yang penyebutnya ${\displaystyle Q(x)\,}$ bukan nol.

Namun jika ${\displaystyle P\,}$ dan ${\displaystyle Q\,}$ memiliki pembagi umum terbesar polinomial non-konstan ${\displaystyle R\,}$, lalu ${\displaystyle P=P_{1}R\,}$ dan ${\displaystyle Q=Q_{1}R\,}$ menghasilkan fungsi rasional

${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}},}$

yang mungkin memiliki domain lebih besar dari ${\displaystyle f(x)}$, dan sama dengan ${\displaystyle f(x)}$ pada domain ${\displaystyle f(x)}$. Bentuk ini umumnya digunakan untuk mengidentifikasi ${\displaystyle f(x)}$ dan ${\displaystyle f_{1}(x)}$ untuk memperluas "kontinuitas" domain ${\displaystyle f(x)}$ untuk ${\displaystyle f_{1}(x)}$.

Fungsi rasional yang tepat adalah fungsi rasional di mana derajat ${\displaystyle P\,}$ tidak lebih besar dari derajat ${\displaystyle Q\,}$ dan keduanya polinomial nyata.

Contoh

Examples of rational functions

Fungsi rasional derajat 3, dengan grafik derajat 3: ${\displaystyle y={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$

Fungsi rasional derajat 2, dengan grafik derajat 3: ${\displaystyle y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}}$

Fungsi rasional

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$

tidak didefinisikan pada

${\displaystyle x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}.}$

Ini asimptot untuk ${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$ sebagai ${\displaystyle x\to \infty .}$

Fungsi rasional

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}}$

didefinisikan untuk semua bilangan riil, tetapi tidak untuk semua bilangan kompleks, karena jika x adalah akar kuadrat dari ${\displaystyle -1}$ (bilangan imajiner atau negatifnya), maka penghitungan normal akan mengarah kepada pembagian nol:

${\displaystyle f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}},}$

yang tidak terdefinisi.

Fungsi konstan seperti ${\displaystyle f(x)=\pi ,}$ adalah fungsi rasional karena konstanta merupakan polinomial. Fungsi itu sendiri merupakan rasional meskipun nilai dari ${\displaystyle f(x)}$ tidak rasional untuk semua ${\displaystyle x}$

Setiap fungsi polinom ${\displaystyle f(x)=P(x)}$ adalah fungsi rasional dengan ${\displaystyle Q(x)=1.}$ Fungsi yang tidak dapat ditulis dalam bentuk ini, seperti ${\displaystyle f(x)=\sin(x),}$ bukan merupakan fungsi rasional. Kata sifat "irasional" umumnya tidak digunakan untuk fungsi.

Fungsi rasional ${\displaystyle f(x)={\tfrac {x}{x}}}$ sama dengan 1 untuk semua x kecuali 0. Jumlah, produk, atau hasil bagi (kecuali pembagian dengan polinomial nol) dari dua fungsi rasional itu sendiri adalah fungsi rasional. Namun, proses reduksi ke bentuk standar dapat secara tidak sengaja menghasilkan penghapusan singularitasseperti itu kecuali dilakukan perawatan.