Aljabar atas medan

Dalam matematika, aljabar atas medan (disebut juga aljabar) adalah ruang vektor kelengkapan dengan bilinear hasil kali. Jadi, aljabar adalah struktur aljabar yang terdiri dari himpunan bersama dengan operasi perkalian dan penjumlahan dan perkalian skalar oleh elemen medan dan memenuhi aksioma yang diimplikasikan oleh "ruang vektor" dan "bilinear".^[1]

Struktur aljabar
Sejenis grup Grup Semigrup / Monoid Rak dan ganjal Grup semu dan gelung Grup abelian Magma Grup Lie Teori grup
Sejenis gelanggang Gelanggang Semigelanggang Gelanggang dekat Gelanggang komutatif Ranah integral Medan Gelanggang pembagian Teori gelanggang
Sejenis kekisi Kekisi Semikekisi Kekisi dikomplemenkan Urutan total Aljabar Heyting Aljabar boolean Peta kekisi Teori kekisi
Sejenis modul Modul Grup dengan operator Ruang vektor Aljabar linear
Sejenis aljabar Aljabar Asosiatif Non-asosiatif Aljabar komposisi Aljabar Lie Bertingkat Bialjabar
l b s

Operasi perkalian dalam aljabar atau mungkin asosiatif, mengarah ke gagasan aljabar asosiatif dan aljabar takasosiatif. Diberikan sebuah bilangan bulat n, gelanggang dari matriks persegi rii tingkat n adalah contoh aljabar asosiatif pada medan bilangan riil bawah penambahan matriks dan perkalian matriks karena perkalian matriks bersifat asosiatif. Ruang Euklides tiga dimensi dengan perkalian yang diberikan oleh perkalian silang vektor adalah contoh aljabar takasosiatif pada medan bilangan riil karena perkalian vektor takasosiatif, memenuhi identitas Jacobi sebagai gantinya.

Sebuah aljabar dikatakan unital atau uniter jika memiliki elemen identitas sehubungan dengan perkalian. Gelanggang matriks kuadrat riil urutan n dalam bentuk aljabar unital karena matriks identitas tingkat n adalah elemen identitas yang berkaitan dengan perkalian matriks. Ini adalah contoh aljabar asosiatif unital, (gelanggang unital) yang juga merupakan ruang vektor.

Banyak penulis menggunakan istilah aljabar yang berarti aljabar asosiatif, atau aljabar asosiatif unital, atau dalam beberapa mata pelajaran seperti geometri aljabar, aljabar komutatif asosiatif unital.

Mengganti medan skalar dengan gelanggang komutatif mengarah ke gagasan yang lebih umum tentang aljabar atas gelanggang. Aljabar tidak disamakan dengan ruang vektor kelengkapan dengan bentuk bilinear, seperti darab dalam, karena, untuk ruang seperti itu, hasil darab bukan dalam ruang, melainkan di medan koefisien.

Definisi dan motivasi

Contoh motivasi

Aljabar	Ruang vektor	Operator bilinear	Asosiatif	Komutatif
bilangan kompleks	${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$	hasil kali bilangan kompleks ${\displaystyle \left(a+ib\right)\cdot \left(c+id\right)}$	Iya	Iya
darab silang dari vektor 3 dimensi	${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	darab silang ${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}}$	Tidak	Tidak (antikomutatif)
kuaternion	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	Darab Hamilton ${\displaystyle (a+{\vec {v}})(b+{\vec {w}})}$	Iya	Tidak

Definisi

Misalkan ${\displaystyle K}$ sebagai medan, dan misalkan ${\displaystyle A}$ sebagai ruang vektor atas ${\displaystyle K}$ dilengkapi dengan operasi biner tambahan dari ${\displaystyle A\times A}$ sebagai ${\displaystyle A}$, yang dilambangkan dengan ${\displaystyle \cdot }$ (yaitu jika ${\displaystyle \mathbf {x} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {y} }$ adalah dua elemen ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }$ adalah darab atau hasil kali dari ${\displaystyle \mathbf {x} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {y} }$). Maka ${\displaystyle A}$ adalah aljabar atas ${\displaystyle K}$ jika identitas berikut berlaku untuk semua elemen ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in A}$, dan semua elemen (disebut juga skalar) ${\displaystyle a}$ dan${\displaystyle b}$dari${\displaystyle K}$:

• Distributif kanan: ${\displaystyle (\mathbf {x} +\mathbf {y} )\cdot \mathbf {z} =\mathbf {x} \cdot \mathbf {z} +\mathbf {y} \cdot \mathbf {z} }$
• Distributif kiri: ${\displaystyle \mathbf {z} \cdot (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\mathbf {z} \cdot \mathbf {x} +\mathbf {z} \cdot \mathbf {y} }$
• Kompatibilitas dengan skalar: ${\displaystyle (a\mathbf {x} )\cdot (b\mathbf {y} )=(ab)(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}$.

Ketiga aksioma ini adalah cara lain untuk operasi biner adalah bilinear. Aljabar atas ${\displaystyle K}$ terkadang disebut juga aljabar-${\displaystyle K}$, dan ${\displaystyle K}$ disebut medan elementer dari ${\displaystyle A}$. Operasi biner disebut sebagai perkalian dalam ${\displaystyle A}$. Konvensi adopsi dalam artikel ini adalah bahwa perkalian elemen aljabar belum tentu asosiatif, meskipun beberapa penulis menggunakan istilah aljabar untuk merujuk pada aljabar asosiatif.

Ketika operasi biner pada ruang vektor komutatif, distribusi kiri dan distribusi kanan setara, dan, dalam hal ini, hanya satu distribusi yang memerlukan bukti. Secara umum, untuk operasi takkomutatif, distribusi kiri dan distribusi kanan taksetara, dan memerlukan bukti terpisah.

Konsep dasar

Homomorfisme aljabar

Artikel utama: Homomorfisme aljabar

Diberikan aljabar-${\displaystyle K}$ atas ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$, sebuah aljabar-K homomorfisme adalah peta linear-${\displaystyle K}$ pada ${\displaystyle f\colon A\to B}$ sehingga ${\displaystyle f(\mathbf {xy} )=f(\mathbf {x} )f(\mathbf {y} )}$ untuk semua ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$ di ${\displaystyle A}$. Ruang semua homomorfisme aljabar-${\displaystyle K}$ diantara ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$ ditulis sebagai

${\displaystyle \mathbf {Hom} _{K{\text{-alj}}}(A,B)}$.

Aljabar isomorfisme-${\displaystyle K}$ adalah bijektif homomorfisme aljabar-${\displaystyle K}$. Untuk semua tujuan praktis, aljabar isomorfik hanya berbeda dalam notasi.

Subaljabar dan ideal

Artikel utama: Substruktur (matematika)

Sebuah subaljabar dari sebuah aljabar atas medan K adalah subruang linear yang memiliki sifat bahwa produk dari dua elemen pada subruang. Dengan kata lain, subaljabar dari suatu aljabar adalah himpunan bagian tak kosong dari elemen yang tertutup dalam penjumlahan, perkalian, dan perkalian skalar. Dalam simbol, apabila himpunan bagian L dari aljabar-K pada A adalah subaljabar jika untuk setiap x, y di L dan c di K, maka memiliki x · y, x + y, dan cx semua di L.

Dalam contoh bilangan kompleks atas yang dilihat sebagai aljabar dua dimensi atas bilangan riil, garis riil satu dimensi adalah subaljabar.

Sebuah ideal kiri dari aljabar-K adalah subruang linear yang memiliki sifat bahwa setiap elemen dari subruang dikalikan sebelah kiri oleh setiap elemen aljabar menghasilkan elemen subruang. Dalam simbol, apabila himpunan bagian L dari aljabar K pada A adalah ideal kiri jika untuk setiap x dan y di L' ', z di A dan c di K, maka memiliki tiga pernyataan berikut.

1. x + y di L (L penutupan bawah penambahan),
2. cx di L (L penutupan bawah perkalian skalar),
3. z · x di L (L penutupan bawah perkalian kiri dengan elemen arbitrer).

Jika (3) diganti dengan x · z di L, maka ini akan menentukan ideal kanan. Sebuah ideal dua sisi adalah himpunan bagian yang merupakan ideal kiri dan kanan. Istilah "ideal" itu sendiri biasanya diartikan sebagai ideal dua sisi. Tentu saja ketika aljabar komutatif, maka semua gagasan ideal ini adalah setara. Perhatikan bahwa kondisi (1) dan (2) bersama setara dengan L sebagai subruang linear dari A. Ini mengikuti dari kondisi (3) bahwa setiap ideal kiri atau kanan adalah subaljabar.

Penting untuk diperhatikan bahwa definisi ini berbeda dengan definisi ideal gelanggang, disini kita memerlukan kondisi (2). Tentu saja jika aljabar itu unital, maka kondisi (3) mengimplikasikan kondisi (2).

Ekstensi skalar

Artikel utama: Ekstensi skalar

Apabila jika memiliki perluasan medan ${\displaystyle F/K}$, yaitu medan besar ${\displaystyle F}$ digunakan ${\displaystyle K}$, maka apabila cara alami untuk aljabar atas ${\displaystyle F}$ dari aljabar atas ${\displaystyle K}$. Ini adalah konstruksi yang sama yang digunakan untuk membuat ruang vektor atas medan besar, yaitu hasil kali tensor ${\displaystyle V_{F}:=V\otimes _{K}F}$. Apabila jika A adalah aljabar atas ${\displaystyle K}$, maka ${\displaystyle A_{F}}$ adalah aljabar atas ${\displaystyle F}$.

Jenis aljabar dan contohnya

Aljabar atas medan datang dalam berbagai jenis. Tipe-tipe ini ditentukan dengan menekankan pada beberapa aksioma lebih lanjut, seperti komutatifitas atau asosiatif dari operasi perkalian, yang tidak diperlukan dalam definisi luas aljabar. Teori-teori yang sesuai dengan berbagai jenis aljabar sering kali sangat berbeda.

Aljabar unital

Suatu aljabar adalah satuan atau uniter jika memiliki satuan atau elemen identitas ${\displaystyle I}$ dengan ${\displaystyle Ix=x=xI}$untuk semua ${\displaystyle x}$ dalam aljabar.

Aljabar nol

Sebuah aljabar disebut juga sebagai aljabar nol jika ${\displaystyle uv=0}$ untuk semua ${\displaystyle u,v}$ dalam aljabar,^[2] jangan bingung dengan aljabar dengan satu elemen. Ini secara inheren takunital (kecuali dalam kasus hanya satu elemen), asosiatif dan komutatif.

Apabila didefinisikan aljabar nol unital dengan mengambil jumlah modul langsung dari suatu medan (atau lebih umum gelanggang) ${\displaystyle K}$ dan ruang vektor-${\displaystyle K}$ (atau modul) ${\displaystyle V}$, dan mendefinisikan produk dari setiap pasangan elemen ${\displaystyle V}$ sebagai nol. Artinya, jika ${\displaystyle \lambda ,\mu \in K}$ dan ${\displaystyle u,v\in V}$, maka ${\displaystyle (\lambda +u)(\mu +v)=\lambda \mu +(\lambda v+\mu u)}$. Jika ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{d}}$ adalah basis dari ${\displaystyle V}$, aljabar nol unital adalah hasil bagi dari gelanggang polinomial ${\displaystyle K[E_{1},\dots ,E_{n}]}$ oleh ideal yang dihasilkan oleh ${\displaystyle E_{i}E_{j}}$ untuk setiap pasangan ${\displaystyle (i,j)}$.

Contoh aljabar nol unital adalah aljabar bilangan ganda, aljabar nol unital-${\displaystyle \mathbb {R} }$ yang dibangun dari ruang vektor riil satu dimensi.

Aljabar nol unital ini mungkin lebih berguna secara umum, karena memungkinkan untuk mentranslasikan sifat umum aljabar ke sifat ruang vektor atau modul. Sebagai contoh, teori basis Gröbner diperkenalkan oleh Bruno Buchberger untuk ideal dalam gelanggang polinomial ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ atas medan. Konstruksi aljabar nol satuan di atas modul ${\displaystyle R}$ bebas memungkinkan perluasan teori ini sebagai teori dasar Gröbner untuk submodul modul bebas. Ekstensi ini memungkinkan, untuk menghitung basis Gröbner dari submodul, untuk menggunakan, tanpa ada modifikasi, algoritma, dan perangkat lunak untuk menghitung basis ideal Gröbner.

Aljabar asosiatif

Artikel utama: Aljabar asosiatif

Contoh aljabar asosiatif, sebagai berikut:

• aljabar semua ${\displaystyle n}$-oleh-${\displaystyle n}$ matriks atas medan (atau gelanggang komutatif) ${\displaystyle K}$. Ini perkalian biasa yaitu perkalian matriks.
• aljabar grup, dimana grup sebagai basis dari ruang vektor dan perkalian aljabar untuk memperluas perkalian grup.
• aljabar komutatif ${\displaystyle K[x]}$ dari semua polinomial atas ${\displaystyle K}$ (lihat gelanggang polinomial).
• aljabar fungsi, sebagai aljabar ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dari semua fungsi kontinu nilai riil yang didefinisikan pada interval ${\displaystyle [0,1]}$, atau aljabar-C dari semua fungsi holomorfik yang didefinisikan pada beberapa himpunan terbuka tetap dalam medan kompleks. Ini juga disebut komutatif.
• aljabar insiden dibangun atas himpunan terurut sebagian tertentu.
• aljabar operator linear, misalnya pada ruang Hilbert. Ini perkalian aljabar diberikan oleh komposisi dari operator. Aljabar ini juga memuat topologi; yang didefinisikan pada ruang Banach, dengan mengubahkannya sebagai Aljabar Banach. Involusi yang diberikan oleh aljabar-B* dan aljabar-C*. Ini dipelajari dalam analisis fungsional.

Aljabar takasosiatif

Artikel utama: Aljabar non-asosiatif

Sebuah aljabar takasosiatif^[3] (atau aljabar distributif) pada medan ${\displaystyle K}$ adalah ruang vektor-${\displaystyle K}$ dengan ${\displaystyle A}$ dilengkapi dengan peta bilinear-${\displaystyle K}$ oleh ${\displaystyle A\times A\rightarrow A}$. Penggunaan "takasosiatif" ini dimaksudkan untuk menyampaikan bahwa asosiatif tidak diasumsikan, tetapi bukan berarti dilarang. Artinya, itu berarti "belum tentu asosiatif".

Contoh rinci dalam artikel utama, sebagai berikut:

• Ruang Eullides ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ dengan perkalian yang diberikan oleh perkalian silang vektor
• Oktonion
• Aljabar Lie
• Aljabar Jordan
• Aljabar alternatif
• Aljabar fleksibel
• Aljabar asosiatif pangkat

Aljabar dan gelanggang

Definisi asosiatif aljabar-${\displaystyle K}$ dengan unital yang diberikan dengan cara alternatif. Dalam hal ini, aljabar atas medan ${\displaystyle K}$ adalah gelanggang ${\displaystyle A}$ bersama dengan homomorfisme gelanggang

${\displaystyle \eta \colon K\to Z(A),}$

dimana ${\displaystyle Z(A)}$ adalah pusat dari ${\displaystyle A}$. Karena ${\displaystyle \eta }$ adalah homomorfisme gelanggang, apabila jika memiliki salah satu dari ${\displaystyle A}$ adalah gelanggang nol, atau bahwa ${\displaystyle \eta }$ adalah injektif. Definisi ini dengan setara definisi diatas, dengan perkalian skalar

${\displaystyle K\times A\to A}$

diberikan oleh

${\displaystyle (k,a)\mapsto \eta (k)a}$.

Diberikan dua unital asosiatif seperti aljabar-${\displaystyle K}$ pada ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$, sebuah homomorfisme aljabar-${\displaystyle K}$ dari ${\displaystyle f\colon A\to B}$ adalah homomorfisme gelanggang dengan perkalian skalar yang didefinisikan oleh ${\displaystyle \eta }$, apabila ditulis sebagai

${\displaystyle f(ka)=kf(a)}$

untuk ${\displaystyle k\in K}$ dan ${\displaystyle a\in A}$. Dengan kata lain, diagram berikut ini adalah:

${\displaystyle {\begin{matrix}&&K&&\\&\eta _{A}\swarrow &\,&\eta _{B}\searrow &\\A&&{\begin{matrix}f\\\longrightarrow \end{matrix}}&&B\end{matrix}}}$

Koefisien struktur

Artikel utama: Konstanta struktur

Untuk aljabar atas medan, perkalian bilinear dari ${\displaystyle A\times A}$ ke ${\displaystyle A}$ adalah apabila perkalian basis oleh elemen ${\displaystyle A}$. Sebaliknya, setelah basis untuk ${\displaystyle A}$ dipilih dari semua produk elemen basis dapat secara sembarang, dan kemudian diperluas dengan unik ke operator bilinear pada ${\displaystyle A}$, yaitu, perkalian yang memenuhi hasil hukum aljabar.

Jadi, dalam medan ${\displaystyle K}$, setiap aljabar dimensi-hingga apabila ditentukan hingga isomorfisme dengan memberikan dimensi (maka ${\displaystyle n}$), dan menentukan ${\displaystyle n^{3}}$ koefisien struktur ${\displaystyle c_{i,j,k}}$, yang merupakan skalar. Koefisien struktur ini menentukan perkalian dalam ${\displaystyle A}$ melalui kaidah berikut:

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}}$

dimana ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\dots \mathbf {e} _{n}}$ sebagai bentuk dasar dari ${\displaystyle A}$.

Namun perlu diperhatikan bahwa beberapa himpunan koefisien struktur berbeda yang ditimbulkan aljabar isomorfik.

Dalam fisika matematika, koefisien struktur umumnya ditulis dengan indeks atas dan bawah, untuk membedakan sifat transformasi bawah transformasi koordinat. Secara khusus, indeks yang lebih rendah adalah indeks kovarian, dan diubah melalui menarik kembali, sedangkan indeks atas adalah kontravarian, yang berubah bawah dorong depan. Jadi, koefisien struktur ditulis juga sebagai ${\displaystyle c_{i,j}^{k}}$, dan kaidah pendefinisiannya ditulis menggunakan notasi Einstein sebagai

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e_{j}} =c_{i,j}^{k}e_{k}}$.

Jika Anda menerapkan ini pada vektor yang ditulis dalam notasi indeks, maka akan menjadi

${\displaystyle (\mathbf {xy} )^{k}=c_{i,j}^{k}x^{i}y^{i}}$.

Jika K hanyalah gelanggang komutatif dan bukan medan, maka proses yang sama akan bekerja jika ${\displaystyle A}$ adalah modul bebas atas ${\displaystyle K}$. Jika bukan, maka perkalian masih sepenuhnya ditentukan oleh tindakan pada himpunan yang mencakup ${\displaystyle A}$; Namun, konstanta struktur tidak dapat ditentukan secara sembarang dalam kasus ini, dan hanya mengetahui konstanta struktur yang bukan menentukan aljabar hingga isomorfisme.

Klasifikasi aljabar asosiatif unital berdimensi rendah atas bilangan kompleks

Aljabar asosiatif unital dua dimensi, tiga dimensi dan empat dimensi atas medan bilangan kompleks sepenuhnya diklasifikasikan hingga isomorfisme oleh Eduard Study.^[4]

Ada dua aljabar dua dimensi. Setiap aljabar terdiri dari kombinasi linear (dengan koefisien kompleks) dari dua elemen basis, 1 (elemen identitas) dan ${\displaystyle a}$. Menurut definisi elemen identitas,

${\displaystyle \textstyle 1\cdot 1=1\,,\quad 1\cdot a=a\,,\quad a\cdot 1=a\,.}$

Maka dari itu, tetap untuk menentukan

${\displaystyle \textstyle aa=1}$   untuk aljabar pertama,

${\displaystyle \textstyle aa=0}$   untuk aljabar kedua.

Ada lima aljabar tiga dimensi. Setiap aljabar terdiri dari kombinasi linear dari tiga elemen basis, 1 (elemen identitas), ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$. Dengan mempertimbangkan definisi elemen identitas, tentu itu sudah cukup untuk menentukan

${\displaystyle \textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0}$   untuk aljabar pertama,

${\displaystyle \textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0}$   untuk aljabar kedua,

${\displaystyle \textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0}$   untuk aljabar ketiga,

${\displaystyle \textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b}$   untuk aljabar keempat,

${\displaystyle \textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0}$   untuk aljabar kelima.

Aljabar keempat adalah takkomutatif, dan yang lainnya adalah komutatif.

Generalisasi

Dalam beberapa bidang matematika, seperti aljabar komutatif, adalah umum untuk mempertimbangkan konsep yang lebih umum dari aljabar atas gelanggang, dimana gelanggang unital komutatif-${\displaystyle R}$ menggantikan medan-${\displaystyle K}$. Satu-satunya bagian dari definisi yang berubah adalah bahwa A diasumsikan sebagai modul-${\displaystyle R}$ (bukan ruang vektor atas ${\displaystyle K}$).

Aljabar asosiatif di atas gelanggang

Artikel utama: Aljabar asosiatif

Sebuah gelanggang A merupakan aljabar asosiatif atas pusat, dan atas bilangan bulat. Contoh klasik dari aljabar atas pusatn, adalah membagi-bikuaternion aljabar, yang isomorfik untuk ${\displaystyle \mathbb {H} \times \mathbb {H} }$, produk langsung dari dua aljabar kuaternion. Pusat gelanggang ini adalah ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$, dan karena memiliki struktur aljabar atas pusat, yang bukan medan. Perhatikan bahwa aljabar biquaternion split juga secara alami merupakan aljabar-${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Dalam aljabar komutatif, jika A adalah gelanggang komutatif, maka setiap homomorfisme gelanggang unital ${\displaystyle R\to A}$ didefinisikan struktur modul ${\displaystyle R}$ pada ${\displaystyle A}$, dan inilah yang dikenal sebagai struktur aljabar ${\displaystyle R}$.^[5] Jadi sebuah gelanggang dengan struktur modul ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ alami, karena homomorfisme tunggal ${\displaystyle \mathbb {Z} \to A}$.^[6] Di sisi lain, tidak semua gelanggang diberikan struktur aljabar atas medan (misalnya bilangan bulat). Lihat Medan dengan satu elemen untuk deskripsi upaya untuk memberikan setiap gelanggang struktur yang dijelaskan seperti aljabar atas medan.

Lihat pula

• Aljabar atas operad
• Aljabar alternatif
• Aljabar Clifford
• Aljabar diferensial
• Aljabar bebas
• Aljabar geometris
• Aljabar maks-plus
• Mutasi (aljabar)
• Aljabar operator
• Lemma Zariski

Catatan

1. Lihat pula Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004, hlm. 3 Proposi 1.1.1
2. Prolla, João B. (2011) [1977]. "Lemma 4.10". Approximation of Vector Valued Functions. Elsevier. hlm. 65. ISBN 978-0-08-087136-3.
3. Schafer, Richard D. (1996). An Introduction to Nonassociative Algebras. ISBN 0-486-68813-5.
4. Study, E. (1890), "Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen", Monatshefte für Mathematik, 1 (1): 283–354, doi:10.1007/BF01692479
5. Matsumura, H. (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 8. Diterjemahkan oleh Reid, M. (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6.
6. Kunz, Ernst (1985). Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry. Birkhauser. ISBN 0-8176-3065-1.

Referensi

• Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Algebras, rings and modules. 1. Springer. ISBN 1-4020-2690-0.