Loading AI tools
Dari Wikipedia, ensiklopedia bebas
Dalam ilmu matematika, spons Menger (juga dikenal sebagai Menger cube, Menger universal curve, Sierpinski cube, atau Sierpinski sponge)[1][2][3] adalah kurva fraktal. Ini adalah generalisasi tiga dimensi dari set Cantor satu dimensi dan karpet Sierpinski dua dimensi. Ini pertama kali dijelaskan oleh Karl Menger pada tahun 1926, dalam studinya tentang konsep dimensi topologi.[4][5]
Konstruksi spons Menger dapat digambarkan sebagai berikut:
Iterasi yang kedua menghasilkan spons level-2, iterasi yang ketiga menghasilkan spons level-3, dan seterusnya. Spons Menger sendiri adalah batas dari proses ini setelah jumlah iterasi yang tak terhingga/tak terhitung jumlahnya.
Tahap ke- dari spons Menger, , Terbuat dari kubus yang lebih kecil, masing-masing memiliki panjang sisi (1/3) n. Total volume adalah demikian . Total luas permukaan diberikan oleh ekspresi .[6][7] Oleh karena itu, volume konstruksi mendekati nol sementara luas permukaannya bertambah tanpa batas. Namun setiap permukaan yang dipilih dalam konstruksi akan tertusuk seluruhnya seiring dengan berlanjutnya konstruksi sehingga batasnya bukanlah padatan atau permukaan; ia memiliki dimensi topologi 1 dan karenanya diidentifikasi sebagai kurva.
Setiap muka konstruksi menjadi karpet Sierpinski, dan perpotongan spons dengan diagonal kubus atau garis tengah muka mana pun merupakan himpunan Cantor. Penampang spons melalui pusat massanya dan tegak lurus terhadap diagonal ruang adalah segi enam beraturan yang ditusuk dengan heksagram yang disusun dalam simetri enam kali lipat.[8] Jumlah heksagram ini, dalam ukuran menurun, diberikan oleh relasi perulangan berikut: , dengan .[9]
Adapun spons Dimensi Hausdorff tersebut adalah log 20log 3 ≅ 2.727. Dimensi penutup Lebesgue spons Menger adalah satu, sama dengan kurva mana pun. Menger menunjukkan, dalam konstruksi tahun 1926, bahwa spons adalah kurva universal, di mana setiap kurva bersifat homeomorfik terhadap bagian dari spons Menger, dengan kurva berarti ruang metrik kompak Lebesgue yang mencakup dimensi satu; ini termasuk pohon dan grafik dengan jumlah tepi, simpul, dan loop tertutup yang dapat dihitung secara sembarang, dihubungkan dengan cara yang berubah-ubah. Demikian pula karpet Sierpinski merupakan kurva universal untuk semua kurva yang dapat digambar pada bidang dua dimensi. Spons Menger yang dibangun dalam tiga dimensi memperluas gagasan ini ke grafik yang tidak planar dan dapat tertanam dalam sejumlah dimensi berapa pun.
Spons Menger adalah satu set tertutup; karena ia juga dibatasi, teorema Heine–Borel menyiratkan bahwa ia kompak. Ini memiliki ukuran Lebesgue 0. Karena mengandung jalur yang berkesinambungan, maka ini merupakan himpunan yang tidak dapat dihitung.
Eksperimen juga menunjukkan bahwa kubus dengan struktur seperti spons Menger dapat menghilangkan guncangan lima kali lebih baik untuk bahan yang sama dibandingkan kubus tanpa pori-pori.[10]
Secara formal, spons Menger dapat didefinisikan sebagai berikut (menggunakan set irisan):
Di mana adalah kubus satuan dan
MegaMenger adalah proyek yang bertujuan untuk membangun model fraktal terbesar, yang dipelopori oleh Matt Parker dari Queen Mary University of London dan Laura Taalman dari James Madison University. Setiap kubus kecil dibuat dari enam kartu nama yang saling bertautan, sehingga totalnya ada 960 000 untuk spons level empat. Permukaan luarnya kemudian ditutup dengan panel kertas atau karton yang dicetak dengan desain karpet Sierpinski agar lebih estetis.[11] Pada tahun 2014, dua puluh spons Menger tingkat tiga dibuat, yang jika digabungkan akan membentuk spons Menger tingkat empat yang terdistribusi.
Kubus Yerusalem adalah objek fraktal yang pertama kali dijelaskan oleh Eric Baird pada tahun 2011. Fraktal tersebut dibuat dengan mengebor lubang berbentuk salib Yunani secara rekursif ke dalam kubus.[12][13] Konstruksinya mirip dengan spons Menger tetapi dengan dua kubus berukuran berbeda. Nama tersebut berasal dari muka kubus yang menyerupai pola salib Yerusalem.[14]
Konstruksi kubus Yerusalem dapat digambarkan sebagai berikut:
Iterasi berkali-kali akan menghasilkan kubus Yerusalem.
Karena panjang rusuk sebuah kubus berpangkat N sama dengan 2 kubus berpangkat N+1 dan sebuah kubus berpangkat N+2, maka faktor skalanya harus memenuhi , Karena itu yang berarti fraktal tidak dapat dibuat menggunakan titik-titik pada kisi rasional.
Karena sebuah kubus berpangkat N dibagi menjadi 8 kubus berpangkat N+1 dan 12 pangkat N+2, maka dimensi Hausdorff harus memenuhi . Persamaanya adalah sebagai berikut
yaitu sekitar 2.529.
Seperti spons Menger, permukaan kubus Yerusalem adalah fraktal juga[15] dengan faktor skala yang sama. Dalam hal ini, dimensi Hausdorff harus memenuhi . Persamaanya adalah sebagai berikut
yaitu sekitar 1.786.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.