Matriks persegi

Dalam matematika, matriks persegi (atau matriks bujur sangkar)^[1] adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama. Matriks berukuran n x n adalah matriks persegi berukuran ${\displaystyle n}$. Sebarang dua matriks persegi berukuran sama dapat dijumlahkan maupun dikalikan.

Matriks persegi berukuran 4. Elemen ${\displaystyle a_{ii}}$ membentuk diagonal utama dari matriks persegi. Pada matriks persegi di atas, diagonal utamanya berisi elemen a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

Matriks persegi sering digunakan untuk mewakili transformasi linear sederhana, seperti shearing atau rotasi. Sebagai contoh, jika ${\displaystyle R}$ adalah matriks persegi yang mewakili suatu rotasi (matriks rotasi) dan ${\displaystyle v}$ adalah vektor kolom dari suatu titik di ruang, maka hasil perkalian ${\displaystyle Rv}$ adalah vektor yang melambangkan titik akibat rotasi tersebut. jika ${\displaystyle v}$ adalah vektor baris, transformasi yang sama didapatkan dengan menghitung ${\displaystyle vR^{\mathsf {T}}}$, dengan matriks ${\displaystyle R^{\mathsf {T}}}$ adalah hasil transpos dari ${\displaystyle R}$.

Diagonal utama

Artikel utama: Diagonal utama

Elemen ${\displaystyle a_{ii}}$ (untuk i = 1, ..., n) pada matriks disebut dengan diagonal utama dari matriks persegi. Mereka terletak pada ruas garis khayal yang menghubungkan elemen paling kiri atas matriks dengan elemen paling kanan bawah matriks. Sebagai contoh, pada matriks persegi di atas, diagonal utamanya berisi elemen a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

Diagonal lain dari matriks persegi, yang menghubungkan elemen paling kiri bawah dengan elemen paling kanan atas, disebut dengan antidiagonal.

Bentuk khusus

Nama	Contoh dengan n = 3
Matriks diagonal	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$
Matriks segitiga bawah	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$
Matriks segitiga atas	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$

Matriks diagonal dan matriks segitiga

Jika setiap elemen matriks yang bukan diagonal utama bernilai nol, matriks ${\displaystyle A}$ disebut dengan matriks diagonal. Jika hanya setiap entri yang terletak "di atas" (atau "di bawah") diagonal utama yang bernilai nol, matriks ${\displaystyle A}$ disebut dengan matriks segitiga bawah (atau matriks segitiga atas).

Matriks identitas

Matriks identitas ${\displaystyle I_{n}}$ berukuran ${\displaystyle n}$ adalah matriks berukuran ${\displaystyle n\times n}$ dengan semua elemen diagonal utamanya bernilai 1, dan semua elemen lainnya bernilai 0. Secara matematiks,

$${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$$

Matriks ini adalah matriks persegi berukuran ${\displaystyle n}$, dan juga bentuk khusu dari matriks diagonal. Matriks ini disebut matriks identitas karena perkalian dengan matriks lain tidak mengubah nilai matriks lain tersebut. Secara lebih formal, untuk setiap matriks ${\displaystyle A}$ berukuran m x n berlaku ${\displaystyle AI_{n}=I_{m}A=A}$.

Matriks yang dapat dibalik dan inversnya

Matriks persegi ${\displaystyle A}$ dapat dibalik jika terdapat matriks ${\displaystyle B}$ sehingga

$${\displaystyle AB=BA=I_{n}}$$.^[2]

Matriks ${\displaystyle A}$ juga dikatakan dapat diinvers dan tidak singular. Jika matriks ${\displaystyle B}$ ada, maka matriks tersebut unik/tunggal, dan disebut matriks invers dari ${\displaystyle A}$, dan dinyatakan sebagai ${\displaystyle A^{-1}}$.

Operasi

Teras

Teras dari matriks persegi ${\displaystyle A}$, ditulis sebagai ${\displaystyle {\text{tr}}(A)}$, adalah jumlah dari setiap elemen diagonal utamanya. Walau perkalian matriks tidak komutatif, teras dari perkalian dua matriks tidak bergantung pada urutan perkalian. Dengan kata lain,

$${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}$$

Hal ini dapat terlihat dengan menggunakan definisi perkalian matriks:

$${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} (BA).}$$

Selain itu, nilai dari teras suatu matriks sama dengan nilai teras dari transposnya, maksudnya:

$${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} })}$$.

Determinan

Artikel utama: Determinan

Sebuah matriks yang mewakili sebuah transformasi linear di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Determinan dari matriks ini bernilai -1, karena pemetaan ini mengubah orientasi persegi panjang biru yang "berlawanan arah jarum jam" menjadi persegi panjang hijau yang "searah jarum jam".

Determinan dari matriks persegi ${\displaystyle A}$, ditulis sebagai ${\displaystyle \det(A)}$ atau ${\displaystyle |A|}$, adalah sebuah bilangan yang mendeskripsikan beberapa sifat dari matriks tersebut. Sebuah matriks dapat dibalik jika dan hanya jika determinan matriks tersebut tidak bernilai nol. Nilai absolut dari determinan sama dengan luas daerah (di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) atau volume (di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) dari citra persegi satuan (atau kubus satuan). Tanda dari determinan (bernilai negatif atau positif) berhubungan dengan orientasi dari hasil pemetaan linear matriks tersebut: determinan bernilai positif jika dan hanya jika orientasi hasil pemetaan tidak berubah.

Determinan dari matriks berukuran 2 x 2 didapatkan dengan menghitung

$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$$

Determinan matriks 3 x 3 dapat dihitung dengan metode Sarrus. Teorema Leibniz memperumum rumus determinan untuk sembarang dimensi.^[3]

Determinan dari perkalian dua matriks persegi sama dengan hasil kali determinan kedua matriks::^[4]

$${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)}$$

Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lain pada matriks, atau kelipatan suatu kolom ke kolom lain, tidak mengubah nilai determinan. Namun, menukar dua baris atau dua kolom akan mengubah tanda dari determinan (sama dengan mengalikan determinan dengan -1).^[5] Menggunakan operasi-operasi tersebut, setiap matriks dapat diubah menjadi matriks segitiga atas (atau bawah). Hal ini memberikan cara untuk menghitung determinan sebarang matriks, karena determinan determinan dari matriks segitiga adalah hasil perkalian setiap elemen diagonal utamanya.

Rumus Laplace menyatakan determinan dalam operasi terhadap minor, yakni, determinan dari matriks yang berukuran lebih kecil.^[6] Rumus ini dapat digunakan secara rekusif untuk menghitung determinan berukuran sebarang, dan dapat ditunjukkan rumus ini setara dengan teorema Leibniz.

Determinan dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem linear menggunakan aturan Cramer, dengan pembagian dua determinan yang sesuai akan menghasilkan nilai dari variabel pada sistem.^[7]

Catatan

1. Lembang & Natsir 2019, hlm. 7.
2. Brown 1991, Definition I.2.28; Brown 1991, Definition I.5.13
3. Brown 1991, Definition III.2.1.
4. Brown 1991, Theorem III.2.12.
5. Brown 1991, Corollary III.2.16.
6. Mirsky 1990, Theorem 1.4.1.
7. Brown 1991, Theorem III.3.18.

Referensi

• Brown, William C. (1991), Matrices and vector spaces, New York, NY: Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
• Lembang, Suri Toding; Natsir, Irmawaty (2019), Aljabar Linier, Deepublish, hlm. 7, ISBN 978-623-02-0265-0
• Mirsky, Leonid (1990), An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7