Matriks terbalikkan

Dalam aljabar linear, sebuah matriks persegi ${\displaystyle \mathbf {A} }$ berukuran ${\displaystyle n\!\times \!n}$ terbalikkan (invertible) atau tidak singular, jika terdapat matriks persegi ${\displaystyle \mathbf {B} }$ dengan ukuran yang sama dengan ${\displaystyle \mathbf {A} }$, dan memenuhi hubungan:

${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}\ }$

dengan ${\displaystyle \mathbf {I} _{n}}$ melambangkan matriks identitas berukuran ${\displaystyle n\!\times \!n}$, dan perkalian yang dilakukan merupakan perkalian matriks yang umum. Jika hubungan tersebut berlaku, maka matriks ${\displaystyle \mathbf {B} }$ disebut sebagai balikan atau invers (multiplikatif) dari matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$, dan diberi lambang ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$.

Matriks persegi tidak dapat dibalik disebut dengan matriks singular. Matriks persegi bersifat singular jika dan hanya jika nilai determinannya 0. Matriks yang bukan matriks persegi (berukuran ${\displaystyle m\!\times \!n}$ dan ${\displaystyle m\neq n}$) tidak memiliki invers. Namun dalam beberapa kasus, matriks tersebut mungkin memiliki invers kiri atau invers kanan. Jika matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ berukuran ${\displaystyle m\!\times \!n}$ dengan rank ${\displaystyle n}$ (nilai ${\displaystyle n\leq m}$), maka ${\displaystyle \mathbf {A} }$ memiliki invers kiri. Invers kiri ini adalah sebuah matriks ${\displaystyle \mathbf {B} }$ berukuran ${\displaystyle n\!\times \!m}$ yang memenuhi hubungan ${\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {A} =\mathbf {I} _{n}.}$ Sedangkan jika rank matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah ${\displaystyle m}$ (nilai ${\displaystyle m\leq n}$), maka ${\displaystyle \mathbf {A} }$ memiliki invers kanan; yakni sebuah matriks ${\displaystyle \mathbf {B} }$ berukuran ${\displaystyle n\!\times \!m}$ yang memenuhi hubungan ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {I} _{m}.}$

Sifat

Teorema matriks terbalikkan

Sifat keterbalikkan sebuah matriks berhubungan erat dengan banyak sifat lain yang dimiliki matriks tersebut. Misalkan ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah matriks persegi berukuran ${\displaystyle n\!\times \!n}$, dengan entri-entri adalah elemen dari suatu lapangan ${\displaystyle K}$ (misalnya, lapangan bilangan real ${\displaystyle \mathbb {R} }$). Semua pernyataan berikut ekuivalen, dalam artian antara matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ memenuhi semua pernyataan, atau matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ tidak memenuhi satupun pernyataan yang ada.^[1][2]

• Matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ terbalikkan. Dengan kata lain, matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ memiliki sebuah invers (atau tidak singular).
• Ada sebuah matriks ${\displaystyle \mathbf {B} }$ berukuran ${\displaystyle n\!\times \!n}$ yang memenuhi ${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}\ }$
• Matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ dapat diubah menjadi matriks identitas ${\displaystyle \mathbf {I} _{n}}$ lewat serangkaian operasi baris elementer, atau lewat serangkaian operasi kolom elementer.
• Matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ dapat dinyatakan sebagai perkalian (dengan jumlah terhingga) matriks-matriks elementer
• Matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ memiliki ${\displaystyle n}$ posisi pivot. Posisi pivot adalah nilai 1 pertama sebuah baris pada matriks bentuk eselon baris tereduksi (reduced row echelon form).
• Persamaan ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} }$ hanya memiliki solusi trivial, yakni ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$
• Persamaan ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} }$ tepat memiliki satu solusi, untuk semua ${\displaystyle \mathbf {b} \in K^{n}}$
• Transformasi linear ${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {Ax} }$ adalah sebuah bijeksi dari ${\displaystyle K^{n}}$ ke ${\displaystyle K^{n}}$
• Kernel dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$ trivial; dengan kata lain hanya mengandung vektor nol sebagai elemennya, sehingga ${\displaystyle \operatorname {Ker} (\mathbf {A} )=\{\mathbf {0} \}}$
• Determinan dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$ sama dengan 0.
• Bilangan 0 bukan nilai eigen dari matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$
• Rank ${\displaystyle \mathbf {A} }$ penuh; dengan kata lain, ${\displaystyle \operatorname {Rank} \mathbf {A} =n}$
• Kolom-kolom dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$ saling bebas linear. Ini mengartikan tidak mungkin menyatakan sebuah kolom matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ sebagai kombinasi penjumlahan kolom-kolom yang lain.
• Span dari kolom-kolom matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah ${\displaystyle K^{n}}$. Artinya, himpunan semua kombinasi linear dari kolom-kolom ${\displaystyle \mathbf {A} }$ akan sama dengan ${\displaystyle K^{n}}$
• Ruang kolom dari matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ adalah ${\displaystyle K^{n}}$. Ruang kolom adalah ruang vektor yang dibentuk oleh kolom-kolom matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$
• Kolom-kolom matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ membentuk sebuah basis bagi ${\displaystyle K^{n}}$
• Transpos dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$, yakni matriks ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}}$ juga terbalikkan. Hal ini mengartikan baris-baris dari matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ juga memenuhi sifat-sifat yang sama dengan kolom-kolom matriks.
• Matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ memiliki invers kiri (yakni matriks ${\displaystyle \mathbf {B} }$ sehingga ${\displaystyle \mathbf {BA} =\mathbf {I} }$) dan invers kanan (yakni matriks ${\displaystyle \mathbf {C} }$ sehingga ${\displaystyle \mathbf {AC} =\mathbf {I} }$). Lebih lanjut, nilai kedua invers tersebut sama, ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} =\mathbf {A} ^{-1}}$

Hubungan dengan adjugat

Adjugat dari suatu matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ dapat digunakan untuk mencari invers dari ${\displaystyle \mathbf {A} }$, dengan menggunakan hubungan:

Jika ${\displaystyle \mathbf {A} }$ memiliki invers, maka

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).}$

Sifat-sifat lain

Selain sifat-sifat pada bagian-bagian sebelumnya, matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ berukuran ${\displaystyle n\times n}$ yang terbalikkan juga memiliki beberapa sifat berikut:

• ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{-1})^{-1}=\mathbf {A} }$;
• ${\displaystyle (k\mathbf {A} )^{-1}=k^{-1}\mathbf {A} ^{-1}}$ untuk sembarang skalar ${\displaystyle k}$ yang tidak sama dengan 0;
• ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{\text{T}})^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\text{T}}}$;
• ${\displaystyle \det(\mathbf {A} ^{-1})={\frac {1}{\det(\mathbf {A} ^{-1})}}}$;
• Untuk sembarang matriks ${\displaystyle \mathbf {B} }$ yang dapat dibalik dan yang berukuran sama dengan ${\displaystyle \mathbf {A} }$, akan berlaku ${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}}$. Hal ini dapat diperumum untuk kasus matriks-matriks ${\displaystyle \mathbf {A} _{1},\,\dots ,\,\mathbf {A} _{k}}$ berukuran ${\displaystyle n\times n}$ dan dapat dibalik, yang akan memiliki hubungan $${\displaystyle (\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2}\dotsi \mathbf {A} _{k-1}\mathbf {A} _{k})^{-1}=\mathbf {A} _{k}^{-1}\mathbf {A} _{k-1}^{-1}\dotsi \mathbf {A} _{2}^{-1}\mathbf {A} _{1}^{-1}}$$
• Jika ${\displaystyle \mathbf {A} }$ memiliki kolom-kolom yang saling ortonormal, maka ${\displaystyle (\mathbf {Ax} )^{+}=\mathbf {x} ^{+}\mathbf {A} ^{-1}}$; dengan ${\displaystyle ^{+}}$ menyatakan invers Moore–Penrose dan ${\displaystyle \mathbf {x} }$ adalah vektor;

Referensi

1. Weisstein, Eric W. "Invertible Matrix Theorem". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-09-08.
2. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. hlm. 14. ISBN 978-0-521-38632-6..

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Inversion of a matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas di Google books
• The Matrix Cookbook