Հայզենբերգի պատկերացում

Հայզենբերգի պատկերացում^[1], Հայզենբերգի պատկեր, քվանտային մեխանիկայի ձևակերպում, որտեղ օպերատորները (դիտարկելին և մյուսները) կախված են ժամանակից, բայց կամայական ֆիքսված բազիսով վիճակի վեկտորներն անկախ են ժամանակից։

Վերներ Հայզենբերգը

Հայզենբերգի պատկերացումը հակադրվում է Շրյոդինգերի պատկերացմանը, որտեղ օպերատորները հաստատուն են և փոփոխվողը վիճակի վեկտորներն են։ Այս երկու պատկերացումները տարբերվում են միայն ժամանակից ունեցած կախվածությամբ, ինչը համապատասխանում է ակտիվ և պասիվ ձևափոխությունների միջև տարբերությանը։ Հայզենբերգի պատկերացումը մատրիցային մեխանիկայի ձևակերպումն է կամայական բազիսով, որտեղ համիլտոնյանը անհրաժեշտաբար անկյունագծային չէ։

Բացի այս երկու պատկերացումներից, գոյություն ունի նաև երրորդ՝ հիբրիդային պատկերացում՝ փոխազդեցության պատկերացումը։

Մաթեմատիկական նկարագրություն

Քվանտային մեխանիկայի Հայզենբերգի պատկերացման մեջ |ψ(t)〉վիճակի վեկտորները չեն փոխվում ժամանակի ընթացքում, մինչդեռ A դիտարկելին բավարարում է

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)]+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)_{H},}$

հավասարմանը, որտեղ H֊ը համիլտոնյանն է և [•,•]֊ով նշանակված է երկու օպերատորների կոմուտատորը (H֊ի և A֊ի)։ Վերցնելով սպասվող արժեքները՝ կգանք Էռենֆեստի թեորեմին, ինչը նկարագրված է համարժեքության սկզբունքով։

Ըստ Ստոն֊ֆոն Նեյմանի թեորեմի, Հայզենբերգի և Շրյոդինգերի պատկերացումները ունիտար կերպով համարժեք են, պարզապես հիլբերտյան տարածության բազիսն է փոխվում։ Որոշ իմաստով Հայզենբերգի պատկերացումն ավելի բնական և հարմար է, քան համարժեք Շրյոդինգերի պատկերացումը, հատկապես ռելյատիվիստական տեսություններում։ Հայզենբերգի պատկերացման մեջ երևում է Լորենց ինվարիանտություն, քանի որ վիճակի վեկտորները տարբերություն չեն դնում ժամանակի կամ տարածության միջև։

Այս մոտեցումը նաև ավելի ուղիղ նմանություններ ունի դասական ֆիզիկայի հետ․ վերևի օպերատորը պարզապես փոխարինելով Պուասոնի փակագծով՝ Հայզենբերգի հավասարումը վերածվում է համիլտոնյան մեխանիկայի հավասարման։

Կոմուտացման առնչություններ

Կոմուտացման առնչություններն այստեղ կարող են տարբերվել Շրյոդինգերի պատկերացումից օպերատորների ժամանակային կախվածության պատճառով։ Օրինակ, ենթադրենք ունենք x(t₁), x(t₂), p(t₁) և p(t₂) օպերատորները։ Այս օպերատորների ժամանակային էվոլյուցիան կախված է համակարգի համիլտոնյանից։ Ենթադրենք ունենք միաչափ հարմոնիկ տատանակ՝

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}}$ ,

կոորդինատի և իմպուլսի օպերատորների էվոլյուցիան տրվում է

${\displaystyle {d \over dt}x(t)={i \over \hbar }[H,x(t)]={\frac {p}{m}}}$ ,

${\displaystyle {d \over dt}p(t)={i \over \hbar }[H,p(t)]=-m\omega ^{2}x}$

առնչություններով։ Դիֆերենցելով այս երկու հավասարումները և լուծելով պատշաճ սկզբնական պայմանների համար՝

${\displaystyle {\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0},}$

${\displaystyle {\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}},}$

կունենանք

${\displaystyle x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{\omega m}}\sin(\omega t)}$ ,

${\displaystyle p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega \!x_{0}\sin(\omega t)}$։

Հաշվարկներով կարելի է գալ ավելի ընդհանուր կոմուտացման առնչությունների՝

${\displaystyle [x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$ ,

${\displaystyle [p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$ ,

${\displaystyle [x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$ .

${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$ դեպքում ստանում ենք ստանդարտ կանոնիկ կոմուտացման առնչություններ, որոնք ճիշտ են բոլոր պատկերացումների համար։

Պատկերացումների համեմատական աղյուսակ

Էվոլյուցիա	Պատկերացում
ըստ	Հայզենբերգի	Փոխազդեցութան	Շրյոդինգերի
«Քիտ» վիճակ	հաստատուն	${\displaystyle |\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}~t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle }$	${\displaystyle |\psi _{S}(t)\rangle =e^{-iH_{S}~t/\hbar }|\psi _{S}(0)\rangle }$
Դիտարկելի (անգլ․ observable)	${\displaystyle A_{H}(t)=e^{iH_{S}~t/\hbar }A_{S}e^{-iH_{S}~t/\hbar }}$	${\displaystyle A_{I}(t)=e^{iH_{0,S}~t/\hbar }A_{S}e^{-iH_{0,S}~t/\hbar }}$	հաստատուն
խտության մատրից	հաստատուն	${\displaystyle \rho _{I}(t)=e^{iH_{0,S}~t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0,S}~t/\hbar }}$	${\displaystyle \rho _{S}(t)=e^{-iH_{S}~t/\hbar }\rho _{S}(0)e^{iH_{S}~t/\hbar }}$

Տես նաև

• Շրյոդինգերի պատկերացում
• Փոխազդեցության պատկերացում

Ծանոթագրություններ

1. «Heisenberg representation». Encyclopedia of Mathematics. Վերցված է 2013 թ․ սեպտեմբերի 3-ին.

Գրականություն

• Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu; Frank Laloe (1977). Quantum Mechanics (Volume One). Paris: Wiley. էջեր 312–314. ISBN 0-471-16433-X.
• Albert Messiah, 1966. Quantum Mechanics (Vol. I), English translation from French by G. M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons.
• Merzbacher E., Quantum Mechanics (3rd ed., John Wiley 1998) p. 430-1 ISBN 0-471-88702-1
• L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. Vol. 3 (3rd ed.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1. {{cite book}}: |volume= has extra text (օգնություն) Online copy
• Ramamurti Shankar|R. Shankar (1994); Principles of Quantum Mechanics, Plenum Press, ISBN 978-0306447907 .
• J. J. Sakurai (1993); Modern Quantum mechanics (Revised Edition), ISBN 978-0201539295 .

Արտաքին հղումներ

• Pedagogic Aides to Quantum Field Theory Click on the link for Chap. 2 to find an extensive, simplified introduction to the Heisenberg picture.