From Wikipedia, the free encyclopedia
Հավանականությունների տեսությունում և առնչվող բնագավառներում պատահական, հավանականային կամ ստոխաստիկ պրոցեսը մաթեմատիկական օբյեկտ է, որը սովորաբար սահմանվում է որպես պատահական մեծությունների ընտանիք։ Պատմականորեն պատահական մեծությունները կապվել կամ ինդեքսավորվել են թվերի բազմությամբ և սովորաբար դիտարկվել են որպես ժամանակի կետեր՝ պատահական պրոցեսները մեկնաբանելով որպես ժամանակի ընթացքում ինչ-որ համակարգի պատահական փոփոխությունների թվային արժեքները ներկայացնեող մեծություններ (օրինակ՝ բակտերիաներ բնակչության աճ, ջերմային աղմուկի պատճառով էլեկտրական հոսանքի փոփոխություն կամ գազի մոլեկուլների շարժ)[1][4][5][6]։ Պատահական պրոցեսները լայնորեն կիրառվում են թվացիալ պատահական փոփոխվող համակարգերի կամ երևույթների մաթեմատիկական մոդելավորման համար։ Ունեն կիրառություններ բազմաթիվ բնագավառներում, ինչպես օրինակ՝ կենսաբանություն[7], Քիմիա[8], էկոլոգիա[9], նյարդագիտություն[10], ֆիզիկա[11], պատկերի թվային մշակում, ազդանշանի մշակում[12], ինֆորմացիայի տեսություն[13], ինֆորմատիկա[14], գաղտնագրություն[15] և հեռահաղորդակցություն[16]։ Բացի դա, ֆինանսական շուկայում թվացիալ պատահական փոփոխությունները հիմք են հանդիսացել ֆինանսներում պատահական պրոցեսների լայնորեն կիրառման համար[17][18][19]։
Կիրառությունները և երևույթների ուսումնասիրությունները դրդել են նոր պատահական պրոցեսների առաջարկների։ Նման պատահական պրոցեսների օրինակ է Վիներյան պրոցեսը կամ Բրաունյան շարժման պրոցեսը[Ն 1], որն օգտագործվել է Լուի Բաշելերը Փարիզի ֆոնդային բորսաում գնի փոփոխությունը ուսումնասիրելու համար[22] և Պուասոնի պրոցեսը, որն օգտագործել է Ա․ Կ․ Էրլանգը՝ որոշակի ժամանակահատվածում հեռախոսազանգերի քանակն ուսումնասիրելու համար[23]։ Այս պատահական պրոցեսները համարվում են պատահական պրոցեսների տեսության ամենակարևոր և հիմնական պրոցեսները[1][4][24] և մի քանի անգամ իրարից անկախ հայտնաբերվել են ինչպես նախքան Բաշելերը կամ Էրլանգը, այնպես էլ նրանցից հետո[22][25]։
Պատահական պրոցեսները նաև կոչվում են պատահական ֆունկցիա[26][27], քանի որ պատահական պրոցեսը կարելի է մեկնաբանել որպես ֆունկցիաների տարածությունում պատահական տարրեր[28][29]։ Պատահական պրոցես կամ ստոխաստիկ պրոցես եզրերը փոխարինելիորեն կիրառվում են առանց մաթեմատիկական տարածություն նշելու (պատահական մեծությունն ինդեքսավորող բազմության համար)[28][30]։ Բայց այս եզրերը հաճախ օգտագործվում են, երբ պատահական մեծությունները ինդեքսավորված են ամբողջ թվերով կամ միջակայքերով[5][30]։ Եթե պատահական մեծությունները ինդեքսավորված են Դեկարտյան հարթությամբ կամ այլ Էվկլիդյան տարածությամբ, ապա պատահական մեծությունների հավաքածում հաճախ կոչվում է պատահական դաշտ[5][31]։ Պատահական պրոցեսների արժեքները ոչ միշտ են թվեր․ դրանք կարող են լինել վեկտորներ կամ այլ մաթեմատիկական օբյեկտներ[5][29]։
Կախված իրենց մաթեմատիկական հատկություններից պատահական պրոցեսները կարող են խմբավորվել տարբեր կատեգորիաներում, որոնցից են պատահական քայլ[32], մարտինգալներ[33], Մարկովի շղթաներ[34], Լևիի պրոցեսներ[35], Գաուսյան պրոցեսներ[36], պատահական դաշտեր[37], վերսկսվող պրոցեսներ և ճյուղավորման պրոցեսներ[38]։ Պատահական պրոցեսներն ուսումնասիրելու համար օգտագործվում է հավանականությունների տեսությունից, մաթեմատիկական անալիզից (այդ թվում՝ իրական անալիզ, չափերի տեսություն, ֆուրեի անալիզ և ֆունկցիոնալ անալիզ[39][40][41]), գծային հանրահաշվից, բազմությունների տեսությունից և տոպոլոգիայից մաթեմատիկական գիտելիքներ և մեթոդներ[42][43][44]։ Պատահական պրոցեսների տեսությունը համարվում է կարևոր ներդրում մաթեմատիկայում[45] և շարունակում է մնալ ակտիվ հետազոտությունների առարկա՝ ինչպես կիրառության, այնպես էլ տեսական հետաքրքրության պատճառով[46][47][48]։
Ստոխաստիկ կամ պատահական պրոցեսը կարելի է սահմանել որպես պատահական մեծությունների հավաքածու, որը ինդեքսավորված է որոշակի մաթեմատիկական բազմությամբ, այսինքն՝ պատահական պրոցեսի յուրաքանչյուր պատահական մեծությունը միակորեն կապված է բազմության որևէ տարրի հետ[4][5]։ Այս բազմությունը կոչվում է ինդեքսավորման բազմություն։ Պատմականորեն ինդեքսավորման բազմությունը եղել է իրական թվերի որևէ ենթաբազմություն, ինչպես օրինակ բնական թվերը՝ ինդեքսավորման բազմությանը ժամանակի մեկնաբանություն տալով[1]։ Հավաքածու յուրաքանչյուր պատահական մեծություն արժեքներ է ընդունում նույն տարածությունից, որը հայտնի է վիճակի տարածություն անվամբ։ Այս տարածությունը կարող են լինել ամբողջ թվերը, իրական թվերը կամ չափանի Էվկլիդյան տարածություն[1][5]։ Աճը այն չափն է, որով պատահական պորցեսը փոխվում է ինդեքսների արժեքների միջև (հաճախ մեկնաբանվում է որպես ժամանակի երկու կետ)[49][50]։ Պատահական պրոցեսը կարող են բազմաթիվ արդյունքներ ունենալ՝ իր պատահական լինելու պատճառով, իսկ պատահական պրոցեսի որևէ արդյունքը կոչում են իրացում[29][51]
Պատահական պրոցեսները կարելի է դասակարգել տարբեր ձևերով, օրինակ՝ իր վիճակի տարածությամբ, իր ինդեքսավորման բազմությամբ կամ պատահաման մեծության հետ կապով։ Դասակարգման ընդունված տարբերակ է ինդեքսավորման բազմության և վիճակի տարածության հազորությամբ ինդեքսավորումը[52][53][54]։
Եթե երըպատահական պրոցեսի ինդեքսավորման բազմությունը ունի վերջավոր քանակությամբ կամ հաշվելի անդամներ, ինչպես օրիկնակ թվերի որևէ վերջավոր բազմություն, ամբողջ կամ բնական թվերի բազմությունը, և այն մեկնաբանվում է որպես ժամանակ, ապա ասում են, որ պատահական պրոցեսը տեղի է ունենում դիսկրետ ժամանակում[55][56]։ Նմանապես, եթե ինդեքսավորման բազմությունը իրական առանցքի որևէ միջակայք է և այն մեկնաբանվում է որպես ժամանակ, ապա ասում են, որ պատահական պրոցեսը տեղի է ունենում անընդհատ ժամանակում։ Այս երկու տեսակի տեսակի պատահական պրոցեսները համապատասխանաբար կոչվում են դիսկրետ և անընդհատ պարամետրով պատահական պրոցեսներ[49][57][58][59]։ Համարվում է, որ դիսկրետ պարամետրով պատահական պրոցեսները ավելի հեշտ է ուսումնասիրել, քանի որ անընդհատ պարամետրով պատահական պրոցեսները պահանջում են ավելի բարդ մաթեմատիկական գիտելիքներ, հիմնականում անհաշվելի ինդեքսավորման բազմության պատճառով[60][61]։ Եթե ինդեքսավորման բազմությունը ամբողջ թվերի բազմությունն է կամ դրա ինչ-որ ենթաբազմություն, ապա պատահական պրոցեսը նաև կոչում են պատահական հաջորդականություն[56]։
Եթե վիճակի տարածությունը ամբողջ կամ բնական թվերն են, ապա պատահական պրոցեսը կոչվում է դիսկրետ կամ ամբողջարժեքանի պատահական պրոցես։ Եթե վիճակի տարածությունը իրական առանցքն է, ապա պատահական պրոցեսը կոչվում է իրական անընդհատ վիճակի տարածությամբ պրոցես։ Եթե վիճակի տարածությունը չափանի Էվկլիդյան տարածությունն է, ապա պատահական պրոցեսը կոչվում է չափանի վեկտորական պրոցես[52][53]։
Պատահական պրոցեսի սահմանումները տարբերվում են[62], բայց ավանդաբար պատահական պրոցեսը սահմանվում է որպես պատահական մեծությունների հավաքածու, որոնք ինդեքսավորված են որևէ բազմությամբ[63][64]Պատահական պրոցես և ստոխաստիկ պրոցես եզրերը համարվում են հոմանիշ և փոխարինելիորեն կիրառվում են առանց ինդեքսավորման բազմությունը շեշտելու[28][30][31][65][66][67]։ Կիրառվում են և՛ «հավաքածու»[29][65], և՛ «ընտանիք» եզրերը[4][68], իսկ «ինդեքսավորման բազմության» փոխարեն հաճախ կիրառվում է «պատամետրերի բազմություն»[29] կամ «պարամետրերի տարածություն»[31] եզրերը։
Պատահական ֆունկցիա եզրը նույնպես օգտագործվում է ստոխաստիկ կամ պատահական պրոցեսի փոխարեն[5][69][70] , չնայած այս անվանումը օգտագործվում է միայն այն դեպքում, երբ պատահական պրոցեսը ընդունում է իրական արժեքներ[29][68]։ Այս եզրը նաև օգտագործվում է, երբ ինդեքսավորման բազմությունը իրական թվերի տարբեր այլ մաթեմատիկական տարածություն է[5][71] , մինչդեռ ստոխաստիկ պրոցես կամ պատահական պրոցես եզրերը սովորաբար կիրառվում է, երբ ինդեքսավորման բազմությունը մեկնաբանվում է որպես ժամանակ[5][71][72][73]։ Երբ ինդեքսավորման բազմությունը չափանի Էվկլիդյան տարածություն է կամ որևէ բազմաձևություն, սովորաբար կիրառվում է պատահական դաշտ եզրը[5][29][31]։
Պատահական պրոցեսները նշանակվում են [57], [64], [74], կամ պարզապես կամ ձևով, չնայած նշանակումը համարվում է ֆունկցիայի նշանակման չարաշահում[75]։ Օրինակ՝ -ով կամ -ով նշանակում են ինդեքսով պատահական մեծությունը, ոչ թե ամբողջ պատահական պրոցեսը[74]։ Եթե ինդեքսավորման բազմություն էմ, ապա պատահական պրոցեսը կարելի է նշանակել ձևով[30]։
Ամենապարզ պատահական պրոցեսներից մեկը Բեռնուլիի պրոցեսն է[76], որը անկախ և նույնական բաշխմամաբ պատահական մեծությունների հաջորդականություն է, որոնցից յուրաքանչյուրը ընդունում է մեկ կամ զրո արժեքը, համապատասխանաբար և հավանականությամբ։ Այս պրոցեսով կարելի է մոդելավորել մետաղադրամի պարբերաբար նետումը, որտեղ գիր ունենալու հավանականությունը իսկ գերբ ունենալու հավաբականությունը՝ [77]: Այլ կերպ ասած՝ Բեռնուլիի պրոցեսը անկախ և նույնական բաշխմամաբ Բեռնուլիի պատահական մեծությունների հաջորդականություն է[78], որտեղ մետաղադրամի յուրաքանչյուր նետումը Բեռնուլիի փորձի օրինակ է[79]։
Պատահական քայլերը պատահական պորցեսներ են, որոնք սովորաբար սահմանվում են որպես իր անկախ և նույնական բաշխմամաբ պատահական մեծությունների կամ Էվկլիդյան տարածությունում պատահական վեկտորների գումար, այսինքն՝ այս պրոցեսները փոխվում են ժամանակում[80][81][82][83][84]։ Սակայն, որոշ հեղինակներ եզրը կիրառում են անընդհատ ժամանակում փոխվող պրոցեսների համար[85], մասնավորապես՝ ֆինանսներում գործածվող Վիներյան պրոցեսը, ինչը որոշ շփոթության և քննադատության առիթ է տվել[86]։ Գոյություն ունեն պատահական քայլերի այլ տարբերակներ՝ սահմանված այլ մաթեմատիկական օբյեկտների վիճակի տարածության վրա, ինչպես օրինակ՝ խմբերը կամ կավարներ, և ընդհանուր առմամաբ պատահական քայլերը լայնորեն ուսումնասիրվել և կիրառվում են տարբեր բնագավառներում[85][87]։
Պատահական քայլի դասական օրինակներից մեկը կոչվում է պարզ պատահական քայլ, որը դիսկրետ ժամանակում փոփոխվող պատահական պորցես է՝ սահմանված ամբողջ թվերի վիճակի տարածության վրա, և հիմնված է Բեռնուլիի պրոցեսի վրա, որտեղ կամայական Բեռնուլիի մեծություն ընդունում է դրական կամ բացասական մեկ արժեքը։ Այլ կարպ ասած՝ պարզ պատահական պրոցեսը տեղի է ունենում ամբողջ թվերում և դրա արժեքը աճում է մեկով հավանականությամբ կամ նվազում հավանականությամբ, հետևաբար՝ այս պատահական քայլի ինդեքսավորման բազմությունը բնական թվերն են, իսկ վիճակի տարածությունը՝ ամբողջ թվերը։ Եթե , ապա այս պատահական քայլը կոչվում է համաչափ պատահական քայլ[88][89]։
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.