Szürjekció

A matematikában ráképezésnek vagy szürjekciónak, illetve szürjektív leképezésnek vagy szürjektív függvénynek nevezzük azokat a leképezéseket, illetve függvényeket, amelyeknél a függvény (vagy leképzeés) értékkészlete megegyezik a függvény érkezési halmazával, azaz egy ${\displaystyle \phi :A\to B}$ függvény pontosan akkor ráképezés, ha minden ${\displaystyle b\in B}$ elemnek létezik őse a ${\displaystyle \phi }$ függvény mellett.

Szürjektív leképezés Injektív és szürjektív leképezés Nem szürjektív leképezés Szürjektív leképezésszorzat: a szorzat első tényezőjének nem kell szürjektívnek lennie

Definíció

Legyenek ${\displaystyle A,\,B}$ tetszőleges halmazok és ${\displaystyle f:A\to B}$ függvény. Akkor mondjuk, hogy ${\displaystyle f}$ szürjekció, ha minden ${\displaystyle b\in B}$-re létezik ${\displaystyle a\in A}$ úgy, hogy ${\displaystyle f(a)=b}$.

Példák

• Definíció szerint minden bijektív leképezés szürjektív.
• Az ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto 2x+1}$ függvény is szürjektív, mert minden y valós számra létezik olyan x (jelesül ${\displaystyle x={\frac {y-1}{2}}}$), hogy ${\displaystyle f(x)=y}$.
• Az ${\displaystyle \ln$ :(0,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} } természetes alapú logaritmus függvény szürjektív.
• Az ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \{0,1,2,3\},x\mapsto x\mapsto x{\pmod {4}}}$ függvény szürjektív.

Tulajdonságok

• Ha az ${\displaystyle f,g}$ függvények szürjektívek, akkor a kompozíciójuk is szürjektív függvény.
• Ha az ${\displaystyle g\circ f}$ függvénykompozíció szürjektív leképezés, akkor a ${\displaystyle g}$ függvény szürjekció.
• Ha ${\displaystyle X,Y}$ véges halmazok és ${\displaystyle |X|=|Y|}$, továbbá ${\displaystyle f:X\to Y}$ függvény, akkor a következő állítások ekvivalensek:

1. ${\displaystyle f}$ bijekció.
2. ${\displaystyle f}$ szürjekció.
3. ${\displaystyle f}$ injekció.

Végtelen halmazokra az előző állítás nem marad érvényben. Például az ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,n\mapsto n+1}$ leképezés injektív de nem szürjektív. A ${\displaystyle g:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,n\mapsto |n-2|}$ leképezés szürjektív de nem injektív.

Lásd még

• Injektív leképezés
• Bijekció

Hivatkozások

• Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

További információk

• Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik