Neumann-sor

Neumann-sor alatt a

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T^{n}}$

alakú sorokat értik, ahol T egy operátor. Ez a mértani sor általánosításának tekinthető.

Az ilyen sorokat Carl Neumann matematikusról nevezték el, aki 1877-ben használta fel a potenciálelméletben. A Neumann-sort használják a funkcionálanalízisben és hasznos korlátos operátorok spektrálanalízisénél is. A Fredholm-integrálegyenletek megoldásának alapját szolgáló Liouville-Neumann-sor is a Neumann-sorra alapul.

Tulajdonságok

Tegyük fel, hogy T egy korlátos operátor az X normált téren. Ha a Neumann-sor konvergens az operátornormában, akkor Id – T invertálható, és az inverz maga a sor összege:

${\displaystyle (\mathrm {Id} -T)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }T^{n}.}$

A konvergencia garantált, ha X Banach-tér és |T| < 1 az operátornormában. Vannak viszont további eredmények is, amelyek gyengébb feltételek mellett is garantálják a konvergenciát. Például elég, ha ${\displaystyle T}$ a ${\displaystyle \;\|T^{n}\|<1\;}$ feltételt teljesíti. Ekkor

${\displaystyle {\begin{aligned}(I-T)^{-1}=&\left(I+T+T^{2}+\dots +T^{n-1}\right)\cdot \left(I-T^{n}\right)^{-1}\\=&\left(I+T+T^{2}+\dots +T^{n-1}\right)\cdot \sum \limits _{k=0}^{\infty }T^{kn}\end{aligned}}}$

A lineáris operátorok invertálhatósága

Legyen V Banach-tér, például ${\displaystyle V:=\mathbb {R} ^{n}}$, és ${\displaystyle A:V\to V}$ korlátos operátor, például az ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ négyzetes mátrixszal megadott lineáris leképezés. Tudjuk, hogy A minden ${\displaystyle \gamma >0}$ skálázási tényezőre felírható, mint

${\displaystyle A={\tfrac {1}{\gamma }}(I-T_{\gamma })\;}$, ahol ${\displaystyle \;T_{\gamma }:=I-\gamma \,A.}$

Ha most van olyan skálázási tényező, hogy ${\displaystyle \|T_{\gamma }\|_{{}_{V\to V}}<1}$ az indukált operátornormában, akkor A invertálható, és inverze megadható a Neumann-sor felhasználásával:

${\displaystyle A^{-1}=\gamma \left(I+\sum _{k=1}^{\infty }T_{\gamma }{}^{k}\right)=\gamma \left(I+\sum _{k=1}^{\infty }(I-\gamma \,A)^{k}\right).}$

Az invertálható operátorok halmazának nyíltsága

Legyenek ${\displaystyle B,B'}$ Banach-terek, és legyen ${\displaystyle S:B\to B'}$ invertálható operátor. Ekkor minden más operátorra, T-re:

Ha S és T távolsága az operátornormában becsülhető úgy, hogy ${\displaystyle \|T-S\|=q\,\|S^{-1}\|^{-1}}$, ahol 0 < q < 1, akkor T szintén invertálható, és inverzének operátornormája ::${\displaystyle \|T^{-1}\|\leq {\tfrac {1}{1-q}}\|S^{-1}\|}$.

Bizonyítás: Felbontjuk T-t a következőképpen:

${\displaystyle T=S(I-(I-S^{-1}T))}$

Alkalmazzuk a második tényezőre a Neumann-sort. A konvergenciát a

${\displaystyle \|I-S^{-1}T\|\leq \|S^{-1}\|\,\|S-T\|\leq q<1}$

feltétel biztosítja.

Következik, hogy az invertálható operátorok halmaza nyílt az operátornormára vonatkozóan.

Bibliográfia

• Werner, Dirk. Funktionalanalysis (német nyelven). Springer Verlag (2005). ISBN 3-540-43586-7

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap