From Wikipedia, the free encyclopedia
A matematikában, különösképpen az absztrakt algebrában, homomorfizmusnak nevezünk minden művelettartó leképezést két algebrai struktúra között.
Így egyebek mellett homomorfizmus egy rendezéstartó leképezés, egy lineáris transzformáció, vagy egy csoporthomomorfizmus. Két algebrai struktúrát homomorfnak, olykor hasonlónak nevezünk, ha létezik köztük homomorfizmus. Ezt gyakran a szimbólummal jelöljük.
A homomorfizmus valamilyen primitív struktúraosztály egy tagján (valamely konkrét struktúrán) alkalmazva, általában megőrzi a primitív osztályt (a struktúra képstruktúrája is ugyanazon primitív osztályba tartozik), vagyis pl. egységelemes csoport homomorf képe egységelemes csoport. A konkrét struktúra azonban megváltozhat (a kép nem feltétlenül izomorf az eredetivel).
Legyen adott két struktúra és . Ekkor
homomorfizmus, ha valamely , akkor , azaz, ha az A struktúrában valamely elemek közt valamilyen reláció áll fenn, akkor ezen elemeik képei a B struktúrában is a megfelelő relációban állnak. Az alap és a képhalmaz viszonyát fejezik ki a következő elnevezések:
Az egyes struktúrák közti homomorfizmusok elnevezései:
Egy A algebrai struktúrán értelmezett homomorfizmus ekvivalenciarelációt definiál a struktúra elemei között: , ha . Ezt az ekvivalenciarelációt a homomorfizmus magjának (kernelének) nevezzük, és -vel jelöljük. Minden homomorfizmust meghatároz a magja. Tekintsük azt a hozzárendelést, ami A minden elemeihez az őt tartalmazó ekvivalenciaosztályt rendeli, és az ekvivalenciaosztályokon úgy definiáljuk a relációkat, hogy ez a hozzárendelés homomorfizmus legyen, akkor az így definiált struktúrát a kernel által generált faktorstruktúrának nevezzük, amit szimbólummal jelölünk. Ekkor könnyen ellenőrizhetően izomorfizmus, tehát a homomorfizmus magja által generált faktorcsoport izomorf a homomorfizmus képével. Ez a homomorfizmustétel:
Csoportokban, gyűrűkben, vektorterekben hagyományosan az egységelem illetve nullelem ősképét nevezzük a homomorfizmus magjának. De ez egyértelműen meghatározza az absztraktabb értelemben vett kernelt, lévén az , ha létezik e eleme a magnak, hogy (csoportoknál) ekvivalenciareláció éppen a kernel. Ezek mindig részcsoportot illetve részgyűrűt alkotnak:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.