Furcsa számok

A számelmélet területén furcsa számnak nevezik az olyan természetes számot, ami bővelkedő, de nem áltökéletes szám.^[1][2] Más szavakkal, a szám valódi osztóinak összege meghaladja a számot, de az osztók egyetlen részhalmazának összege sem egyenlő magával a számmal.

Példák

A legkisebb furcsa szám a 70. Valódi osztói 1, 2, 5, 7, 10, 14 és 35; ezek összege 74, de nem adhatók össze úgy, hogy 70-et adjanak. A 12-es szám például bővelkedő, de nem furcsa szám; valódi osztói 1, 2, 3, 4 és 6, melyek összege 16; ugyanakkor 2+4+6 = 12.

Az első néhány furcsa szám:

70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, 10990, 11410, 11690, 12110, 12530, 12670, 13370, 13510, 13790, 13930, 14770, ... (A006037 sorozat az OEIS-ben).

Tulajdonságok

Bizonyított, hogy végtelen számú furcsa szám létezik;^[3] sőt, a furcsa számok sorozatának pozitív aszimptotikus sűrűsége van,^[4] mely sűrűség < 0,0101 (a bővelkedő számok és az áltökéletes számok sűrűségeinek különbségéből következően).

Nem tudjuk, hogy léteznek-e páratlan furcsa számok, de ha léteznek, nagyobbnak kell lenniük 2³² ≈ 4·10⁹-nél^[5] vagy 1·10¹⁷-nél.^[6]

Sidney Kravitz megmutatta, hogy ha k pozitív egész, Q 2^k-nál nagyobb prímszám és

${\displaystyle R={\frac {2^{k}Q-(Q+1)}{(Q+1)-2^{k}}}}$;

szintén 2^k-nál nagyobb prímszám, akkor

${\displaystyle n=2^{k-1}QR}$

furcsa szám.^[7] A képlet segítségével találta a következő furcsa számot:

${\displaystyle n=2^{56}\cdot (2^{61}-1)\cdot 153722867280912929\ \approx \ 2\cdot 10^{52}}$.

Primitív furcsa számok

A furcsa számok egyik tulajdonsága, hogy ha n furcsa, p pedig olyan prímszám, ami nagyobb az σ(n) osztóösszegnél, akkor pn szintén furcsa szám.^[4] Egyrészt ebből is következik, hogy végtelen számú furcsa szám létezik. Másrészt ez a primitív furcsa számok definíciójához vezet – ezek olyan furcsa számok, melyek nem többszörösei egy másik furcsa számnak. A Kravitz-féle konstrukciós képlet primitív furcsa számokat hoz létre. Azt sejtik, hogy végtelen sok primitív furcsa szám létezik, és Melfi megmutatta, hogy a végtelen sok primitív furcsa szám létezése a Cramér-sejtés következménye.^[8]

24 egymilliónál kisebb primitív furcsa szám létezik. Az első néhány:

70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10792, 17272, 45356, 73616, 83312, 91388, 113072, 243892, 254012, 338572, 343876, 388076, 519712, 539744, 555616, 682592, 786208 (A002975 sorozat az OEIS-ben)