Bővelkedő számok

A számelméletben bővelkedő számnak nevezünk minden olyan n egészt, amelyre az osztóösszeg-függvény σ(n)>2n , vagy a valódi osztók összege s(n)>n.

Az osztók összegének és a számnak a különbsége [más szóval σ(n) ‒ 2n] a bővelkedés mértéke. Azon feltételezett számokat, amelyeknél ez a mérték 1, kvázitökéletes számoknak vagy legkevésbé bővelkedő számoknak nevezzük.

A természetes számok 3 osztályba sorolása (hiányos számok, tökéletes számok és bővelkedő számok) elsőként Nikomakhosz görög matematikusnál jelenik meg, 100 körül megjelent, Introductio Arithmetica („Bevezetés az aritmetikába”) című művében.

Az első néhány bővelkedő szám:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108,… (A005101 sorozat az OEIS-ben).

Például a 24 valódi osztói 1, 2, 3, 4, 6, 8 és 12, ezek összege 36. Mivel 36 nagyobb, mint 24, ezért a 24 bővelkedő szám. Bővelkedésének mértéke 36 − 24 = 12.

Az első néhány páratlan bővelkedő szám:

945, 1575, 2205, 2835, 3465, 4095, 4725, 5355, 5775, 5985, 6435, 6615, 6825, 7245, 7425, 7875, 8085, 8415,… (A005231 sorozat az OEIS-ben).

Tulajdonságok

• A legkisebb páratlan bővelkedő szám a 945.
• A legkisebb, 2-vel és 3-mal nem osztható bővelkedő szám az 5391411025, aminek prímtényezői 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 és 29 (A047802 sorozat az OEIS-ben). Iannucci 2005-ben leírt algoritmusa megkeresi a legkisebb bővelkedő számot, ami nem osztható az első k prímszámmal.^[1] Ha ${\displaystyle A(k)}$ jelképezi a legkisebb bővelkedő számot, ami nem osztható az első k prímszámmal, akkor minden ${\displaystyle \epsilon >0}$-ra:

${\displaystyle (1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }}$ kellően nagy k-ra.

• Végtelen sok bővelkedő szám létezik, páros és páratlan egyaránt.
• Davenport 1933-ban analitikus módszerekkel bebizonyította, hogy a bővelkedő számok sorozatának van aszimptotikus sűrűsége.^[2] Erre Erdős Pál 1934-ben elegáns elemi bizonyítást adott, igazolva, hogy a primitív bővelkedő számok (olyan nem hiányos számok, amelyek minden valódi osztója hiányos) reciprokösszege korlátos. Ez indíttatta Schurt arra, hogy Erdőst Budapest csodájának nevezze. 1998-ban Marc Deléglise francia matematikus megmutatta, hogy bővelkedő számok sorozatának sűrűsége 0,2474 és 0,2480 közé esik, ezzel eldöntve Henri Cohen kérdését, hogy eléri-e az egynegyedet.^[3]
• Minden tökéletes szám és minden bővelkedő szám többszöröse bővelkedő szám.^[4]
• Minden 46-nál nagyobb páros szám, és minden 20161-nél nagyobb egész szám felírható két bővelkedő szám összegeként.^[5]
• Az olyan bővelkedő számokat, amik nem majdnem tökéletes számok, furcsa számoknak nevezik.^[6]
• Az olyan bővelkedő számokat, ahol a bővelkedés mértéke 1, kvázitökéletes számoknak vagy legkevésbé bővelkedő számoknak nevezzük – bár még nem sikerült ilyen számot találni.

Kapcsolódó koncepciók

Az n szám bővelkedési indexe (abundancy index) a σ(n)/n arány.^[7]

Lásd még

• Tökéletes számok
• Hiányos számok
• Barátságos számok

Jegyzetek

2. Divisors, Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 95. o. (1988). ISBN 0-521-34056-X
3. Deléglise, Marc (1998). „Bounds for the density of abundant integers”. Experimental Mathematics 7 (2), 137–143. o. DOI:10.1080/10586458.1998.10504363. ISSN 1058-6458.
4. Tattersall (2005) p.134
5. A048242: Numbers that are not the sum of two abundant numbers (not necessarily distinct)
6. Tatersall (2005) p.144
7. Laatsch, Richard (1986). „Measuring the abundancy of integers”. Mathematics Magazine 59, 84–92. o. ISSN 0025-570X. JSTOR 2690424.

További információk

• Marc bizonyítása (angolul)
• Abundant numbers (sum of divisors of n exceeds 2n) (OEIS) (angolul)
• Odd abundant numbers (OEIS) (angolul)