HU
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms
Térszög

Térszög

From Wikipedia, the free encyclopedia

Térszög
DefinícióAlkalmazásokMás dimenziókbanEgyes objektumok térszögeiTetraéderKúp, gömbsüveg, félgömbPiramisSzélességi-hosszúsági téglalapA Nap és a HoldJegyzetekForrások

A térszög (jele: Ω) olyan szög a háromdimenziós térben, amelyet egy 0 csúcspontú, tetszőleges zárt vezérgörbéjű kúp határoz meg. A térszöget annak a felületdarabnak a nagyságával mérjük, amelyet a kúpfelület az 0 középpontú gömbből kivág. (A kivágott felület alakja közömbös, csak a nagysága számít.)

Thumb
Térszög

A térszög azt méri, hogy az adott pontból nézve milyen nagynak tűnik egy objektum. (Például egy közel lévő kis objektum ugyanakkora térszöget zárhat be, mint egy távoli nagy objektum.) A térszög úgy viszonyul a gömb felszínéhez, mint a síkszög a kör kerületéhez, vagyis értéke egyenesen arányos az objektumnak vetületének az 0 középpontú gömb felszínén mért területével (S) , és fordítottan a gömbsugár (r) négyzetével: Ω = k   S / r 2 {\displaystyle \Omega ={k}\ {S/}{r^{2}}} {\displaystyle \Omega ={k}\ {S/}{r^{2}}} (ahol k arányossági konstans).

Amennyiben a k konstanst 1-nek választjuk, akkor a térszög mértékegysége az SI-beli szteradián (jele: sr). Ekkor a térszög legnagyobb értéke a teljes gömbfelülethez tartozik: Ω = S / r 2 = ( 4 π r 2 ) / r 2 = 4 π   s r ≈ 12 , 57   s r {\displaystyle \Omega ={S/}{r^{2}}={(4\pi r^{2})/}{r^{2}}=4\pi \ \mathrm {sr} \approx 12{,}57\ \mathrm {sr} } {\displaystyle \Omega ={S/}{r^{2}}={(4\pi r^{2})/}{r^{2}}=4\pi \ \mathrm {sr} \approx 12{,}57\ \mathrm {sr} }.

A térszög mérhető még négyzetfokban ( k = ( 180 / π ) 2 {\displaystyle {k=(180/}\pi {)}^{2}} {\displaystyle {k=(180/}\pi {)}^{2}}) vagy gömbrészben ( k = 1 / 4 π {\displaystyle {k=1/4}\pi } {\displaystyle {k=1/4}\pi }).

A gömbrész méretének meghatározásához az adott objektum területét osztani kell a gömb teljes felszínével. A gömbrész (legyen most jele: gr) értéke ezután átszámítható szteradiánná vagy négyzetfokká (legyen most jele: nf) a következő képletek segítségével:

  1. Ω s r = 4 π   Ω g r {\displaystyle \Omega _{sr}={4}\pi \ \Omega _{gr}} {\displaystyle \Omega _{sr}={4}\pi \ \Omega _{gr}} - a szteradián érték kiszámításához szorozni kell a gömbrész értéket 4 π {\displaystyle {4}\pi } {\displaystyle {4}\pi }-vel.
  2. Ω n f = 4 π   ( 180 / π ) 2   Ω g r = 129600   π   Ω g r {\displaystyle \Omega _{nf}={4}\pi \ {(180/}\pi {)}^{2}\ \Omega _{gr}={129600}\ \pi \ \Omega _{gr}} {\displaystyle \Omega _{nf}={4}\pi \ {(180/}\pi {)}^{2}\ \Omega _{gr}={129600}\ \pi \ \Omega _{gr}} - a négyzetfok érték kiszámításához szorozni kell a gömbrész értéket 4 π ( 180 / π ) 2 {\displaystyle {4}\pi {(180/}\pi {)}^{2}} {\displaystyle {4}\pi {(180/}\pi {)}^{2}}, vagyis 129600 π {\displaystyle {129600}\pi } {\displaystyle {129600}\pi }-vel.

Legyen A tetszőleges felület, és S A vetülete az r sugarú gömb felszínén. Ekkor az A felület Ω térszöge

Ω := S r 2 = ∫ ∫ A n → ^ ⋅ d A → ρ 2 {\displaystyle \Omega :={\frac {S}{r^{2}}}=\int \!\!\!\!\int _{A}{\frac {{\hat {\vec {n}}}\cdot d{\vec {A}}}{\rho ^{2}}}} {\displaystyle \Omega :={\frac {S}{r^{2}}}=\int \!\!\!\!\int _{A}{\frac {{\hat {\vec {n}}}\cdot d{\vec {A}}}{\rho ^{2}}}}

ahol n → ^ {\displaystyle {\hat {\vec {n}}}} {\displaystyle {\hat {\vec {n}}}} a gömb középpontjából kifelé mutató egységvektor, d A → {\displaystyle d{\vec {A}}} {\displaystyle d{\vec {A}}} infinitezimálisan kicsiny felületdarab, és ρ ennek a gömb középpontjától mért távolsága.

  • A fényerősség és a fénysűrűség (luminancia)
  • A gömbháromszögek gömbi feleslege
  • Fémkomplexekben a ligandumok méretének meghatározása
  • Elektromos és mágneses térerősség
  • Gauss-törvény

A térszög általánosítható minden d dimenzióra a d-gömbre való kiterjesztéssel. A gömbi szimmetriával kapcsolatban gyakran szükség is van erre. A teljes d dimenziós gömb térszöge

Ω d = 2 π d / 2 Γ ( d 2 ) {\displaystyle \Omega _{d}={\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}\right)}}} {\displaystyle \Omega _{d}={\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}\right)}}}

ahol Γ {\displaystyle \Gamma } {\displaystyle \Gamma } a teljes gammafüggvény.

Ha d egész, akkor a gammafüggvény értéke kiszámítható. Ezzel

Ω d = { d π d / 2 ( d 2 ) ! d = 2 ˙ 2 d ( d − 1 2 ) ! ( d − 1 ) ! π ( d − 1 ) / 2 d ≠ 2 ˙ {\displaystyle \Omega _{d}={\begin{cases}{\frac {d\pi ^{d/2}}{\left({\frac {d}{2}}\right)!}}&d={\dot {2}}\\{\frac {2^{d}\left({\frac {d-1}{2}}\right)!}{(d-1)!}}\pi ^{(d-1)/2}&d\neq {\dot {2}}\end{cases}}} {\displaystyle \Omega _{d}={\begin{cases}{\frac {d\pi ^{d/2}}{\left({\frac {d}{2}}\right)!}}&d={\dot {2}}\\{\frac {2^{d}\left({\frac {d-1}{2}}\right)!}{(d-1)!}}\pi ^{(d-1)/2}&d\neq {\dot {2}}\end{cases}}}

Ez a képlet kiadja a kör kerületét a síkban és a 4π szteradiánt a háromdimenziós térben. Kevésbé nyilvánvaló, hogy a [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} {\displaystyle [-1,1]} intervallumra a 2-t adja ki, ami megegyezik ennek a szakasznak a hosszával.

Tetraéder

Legyenek a tetraéder csúcsai A, B, C és O, ahol O az origó. Jelölje a →   , b →   , c → {\displaystyle {\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}} {\displaystyle {\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}} rendre az A-ba, B-be, C-be mutató vektorokat. A ϑ a {\displaystyle \vartheta _{a}\,} {\displaystyle \vartheta _{a}\,} szög legyen a BOC szög, és defiiáljuk ehhez hasonlóan a ϑ b , ϑ c {\displaystyle \vartheta _{b},\,\vartheta _{c}} {\displaystyle \vartheta _{b},\,\vartheta _{c}} szögeket. Jelölje φ a b {\displaystyle \varphi _{ab}\,} {\displaystyle \varphi _{ab}\,} az OAC és az OBC síkok által bezárt szöget, és definiáljuk a φ b c , φ a c {\displaystyle \varphi _{bc},\,\varphi _{ac}} {\displaystyle \varphi _{bc},\,\varphi _{ac}} szögeket analóg módon. A tetraéder O-nál levő térszöge

Ω = φ a b + φ b c + φ a c − π . {\displaystyle \Omega =\varphi _{ab}+\varphi _{bc}+\varphi _{ac}-\pi .\,} {\displaystyle \Omega =\varphi _{ab}+\varphi _{bc}+\varphi _{ac}-\pi .\,}

Ez a gömbi felesleggel bizonyítható, és következményként egy olyan eredményt ad, ami megfelel a síkháromszög szögösszegéről szóló tételnek.

A tetraéder belső térszögeinek összege

∑ i = 1 4 Ω i = 2 ∑ i = 1 6 ϕ i − 4 π {\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\Omega _{i}=2\sum _{i=1}^{6}\phi _{i}-4\pi } {\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\Omega _{i}=2\sum _{i=1}^{6}\phi _{i}-4\pi }

ahol ϕ i {\displaystyle \phi _{i}\,} {\displaystyle \phi _{i}\,} végigfut a hat lapszögön.

Oosterom and Strackee használható algoritmust adott a tetraéder O-nál levő térszögének kiszámítására.:[1] A fenti jelölésekkel

t g ( 1 2 Ω ) = [ a →   b →   c → ] a b c + ( a → ⋅ b → ) c + ( a → ⋅ c → ) b + ( b → ⋅ c → ) a , {\displaystyle \mathrm {tg} \left({\frac {1}{2}}\Omega \right)={\frac {[{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}]}{abc+({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})c+({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})b+({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})a}},} {\displaystyle \mathrm {tg} \left({\frac {1}{2}}\Omega \right)={\frac {[{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}]}{abc+({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})c+({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})b+({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})a}},}

ahol

[ a →   b →   c → ] {\displaystyle [{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}]} {\displaystyle [{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}]}

annak a mátrixnak a determinánsa, aminek sorai az a → , b → , c → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}} {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}} vektorok. Ez megegyezik a három vektor vegyes szorzatával. A felülhúzás nélküli kisbetűk a vektorok hosszát, az egymás mellé írt vektorok a két vektor skaláris szorzatát jelölik.

Egy másik hasznos képlet a térszöget a ϑ a , ϑ b , ϑ c {\displaystyle \vartheta _{a},\,\vartheta _{b},\,\vartheta _{c}} {\displaystyle \vartheta _{a},\,\vartheta _{b},\,\vartheta _{c}} szögek függvényében adja meg. Ez L' Huilier tételéből adódik:

t g ( 1 4 Ω ) = t g ( ϑ s 2 ) t g ( ϑ s − ϑ a 2 ) t g ( ϑ s − ϑ b 2 ) t g ( ϑ s − ϑ c 2 ) {\displaystyle \mathrm {tg} \left({\tfrac {1}{4}}\Omega \right)={\sqrt {\mathrm {tg} \left({\frac {\vartheta _{s}}{2}}\right)\mathrm {tg} \left({\frac {\vartheta _{s}-\vartheta _{a}}{2}}\right)\mathrm {tg} \left({\frac {\vartheta _{s}-\vartheta _{b}}{2}}\right)\mathrm {tg} \left({\frac {\vartheta _{s}-\vartheta _{c}}{2}}\right)}}} {\displaystyle \mathrm {tg} \left({\tfrac {1}{4}}\Omega \right)={\sqrt {\mathrm {tg} \left({\frac {\vartheta _{s}}{2}}\right)\mathrm {tg} \left({\frac {\vartheta _{s}-\vartheta _{a}}{2}}\right)\mathrm {tg} \left({\frac {\vartheta _{s}-\vartheta _{b}}{2}}\right)\mathrm {tg} \left({\frac {\vartheta _{s}-\vartheta _{c}}{2}}\right)}}}

ahol

ϑ s = ϑ a + ϑ b + ϑ c 2 {\displaystyle \vartheta _{s}={\frac {\vartheta _{a}+\vartheta _{b}+\vartheta _{c}}{2}}} {\displaystyle \vartheta _{s}={\frac {\vartheta _{a}+\vartheta _{b}+\vartheta _{c}}{2}}}

Kúp, gömbsüveg, félgömb

Thumb
Kúp (1) és gömbsüveg metszete (2) gömbben.
Az ábrán θ = a/2 és r = 1.

A 2 θ {\displaystyle 2\theta \,\!} {\displaystyle 2\theta \,\!} csúcsszögű kúp térszöge az egységgömbi gömbsüveg felszínével egyenlő:

Ω = 2 π ( 1 − cos ⁡ θ ) . {\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos {\theta }\right).\,\!} {\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos {\theta }\right).\,\!}

Ez az eredmény a következő kettős integrállal számítható ki:

∫ 0 2 π ∫ 0 θ sin ⁡ θ ′ d θ ′ d ϕ = 2 π ∫ 0 θ sin ⁡ θ ′ d θ ′ = 2 π [ − cos ⁡ θ ′ ] 0 θ   = 2 π ( 1 − cos ⁡ θ ) . {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\,d\phi =2\pi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '=2\pi \left[-\cos \theta '\right]_{0}^{\theta }\ =2\pi \left(1-\cos \theta \right).} {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\,d\phi =2\pi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '=2\pi \left[-\cos \theta '\right]_{0}^{\theta }\ =2\pi \left(1-\cos \theta \right).}

Arkhimédész bebizonyította az integrálszámítás használata nélkül, hogy a gömbsüveg felszíne megegyezik annak a körnek a területével, aminek ugyanakkora a sugara, mint a gömbsüveg peremének és annak a pontnak a távolsága, ahol a gömbsüveg szimmetriatengelye metszi a gömbsüveget. A diagramon ez a sugár:

2 r sin ⁡ ( θ 2 ) .   {\displaystyle 2r\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).\,\ } {\displaystyle 2r\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).\,\ }

Így az egységgömbi gömbsüveg térszöge:

Ω = 4 π sin 2 ⁡ ( θ 2 ) = 2 π ( 1 − cos ⁡ θ ) .   {\displaystyle \Omega =4\pi \sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)=2\pi \left(1-\cos {\theta }\right).\,\ } {\displaystyle \Omega =4\pi \sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)=2\pi \left(1-\cos {\theta }\right).\,\ }

Ha θ = π/2, akkor a gömbsüvegből félgömb lesz, aminek térszöge 2π.

Egy kúp komplementerének térszöge:

4 π − Ω = 2 π ( 1 + cos ⁡ θ ) . {\displaystyle 4\pi -\Omega =2\pi \left(1+\cos {\theta }\right).\,\!} {\displaystyle 4\pi -\Omega =2\pi \left(1+\cos {\theta }\right).\,\!}

A Föld felszínén a θ {\displaystyle \theta \,\!} {\displaystyle \theta \,\!} szélességen álló csillagász az éggömbnek ekkora részét figyelheti meg (az éggömb forgásának beszámításával):

1 2 ( 1 + cos ⁡ θ ) .   {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\cos {\theta }\right).\,\ } {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\cos {\theta }\right).\,\ }

Az Egyenlítőről minden látszik, a sarkokról csak a fél éggömb.

A téglalap alapú egyenes gúla térszöge

Ω = 4 arcsin ⁡ ( sin ⁡ a 2 sin ⁡ b 2 ) . {\displaystyle \Omega =4\arcsin \left(\sin {a \over 2}\sin {b \over 2}\right).\,\!} {\displaystyle \Omega =4\arcsin \left(\sin {a \over 2}\sin {b \over 2}\right).\,\!}

ahol a és b a szemben fekvő oldalak lapszöge.

Ha az alap oldalhosszai α és β, és a piramis magassága d, akkor a térszög:

Ω = 4 arcsin ⁡ α β ( 4 d 2 + α 2 ) ( 4 d 2 + β 2 ) . {\displaystyle \Omega =4\arcsin {\frac {\alpha \beta }{\sqrt {(4d^{2}+\alpha ^{2})(4d^{2}+\beta ^{2})}}}.\,\!} {\displaystyle \Omega =4\arcsin {\frac {\alpha \beta }{\sqrt {(4d^{2}+\alpha ^{2})(4d^{2}+\beta ^{2})}}}.\,\!}

Egy szélességi és hosszúsági körök által határolt gömbi téglalap középponti szöge

( sin ⁡ φ N − sin ⁡ φ S ) ( ϑ E − ϑ W ) {\displaystyle \left(\sin \varphi _{N}-\sin \varphi _{S}\right)\left(\vartheta _{E}-\vartheta _{W}\,\!\right)} {\displaystyle \left(\sin \varphi _{N}-\sin \varphi _{S}\right)\left(\vartheta _{E}-\vartheta _{W}\,\!\right)}, ahol φ N {\displaystyle \varphi _{N}\,\!} {\displaystyle \varphi _{N}\,\!} és φ S {\displaystyle \varphi _{S}\,\!} {\displaystyle \varphi _{S}\,\!} a határoló északi és déli szélességi kör, és ϑ E {\displaystyle \vartheta _{E}\,\!} {\displaystyle \vartheta _{E}\,\!} és ϑ W {\displaystyle \vartheta _{W}\,\!} {\displaystyle \vartheta _{W}\,\!} a határoló keleti és a nyugati hosszúsági kör. A hosszúsági körök radiánban mért szöge kelet felé nő.

Matematikailag ez egy φ N − φ S {\displaystyle \varphi _{N}-\varphi _{S}\,\!} {\displaystyle \varphi _{N}-\varphi _{S}\,\!} hosszú körívet jelent, ami ϑ E − ϑ W {\displaystyle \vartheta _{E}-\vartheta _{W}\,\!} {\displaystyle \vartheta _{E}-\vartheta _{W}\,\!} radiánt söpör végig. Ha a hosszúság eléri a 2π radiánt, vagy a szélesség a π radiánt, akkor a térszög az egész kört átfogja.

A szélességi-hosszúsági téglalap térszöge nem tévesztendő össze a piramid csúcsszögével. A piramid oldalai főkörívekben metszik a gömböt, és a szélességi körök nem főkörök.

A Nap és a Hold is az éggömb 0,001%-át foglalja el, vagyis úgy 6·10−5 szteradiánt.[2]

  1. [1]
    Van Oosterom, A, Strackee, J (1983). „The Solid Angle of a Plane Triangle”. IEEE Trans. Biom. Eng. BME-30, 125-126. o. DOI:10.1109/TBME.1983.325207.
  2. [2]
  • Arthur P. Norton, A Star Atlas, Gall and Inglis, Edinburgh, 1969
  • F. M. Jackson, Polytopes in Euclidean n-Space. Inst. Math. Appl. Bull. (UK) 29, 172-174, Nov./Dec. 1993.
  • Eric W. Weisstein, Spherical Excess at MathWorld.
  • Eric W. Weisstein, Solid Angle at MathWorld.
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

Definíció

Alkalmazások

Más dimenziókban

Egyes objektumok térszögei

Piramis

Szélességi-hosszúsági téglalap

A Nap és a Hold

Jegyzetek

Források