Határ (matematika)
From Wikipedia, the free encyclopedia
From Wikipedia, the free encyclopedia
A topológiában egy X topologikus tér S részhalmazának a határán azon pontok halmazát értjük amely pontok megközelíthetőek S-ből és kívülről is. Vagyis ez olyan pontok halmazát jelenti a amik elemei S lezártjának, de nem belső pontjai S-nek. A S határának az elemei S határpontjai. Az S halmaz határát bd(S), fr(S), és ∂S-vel jelölik.
Több ismert és ekvivalens definíció ismert az S határának meghatározásához
Például a valós számok halmaza R, a hagyományos topológiai értelmezésben (tehát olyan topológia ahol egy pont környezetei olyan nyitott valós intervallumok amik tartalmazzák az adott pontot), adottak, hogy:
Az utolsó két példa jól bemutatja a tényt, hogy a határa egy sűrű halmaznak amely nem rendelkezik belső pontokkal az a halmaz lezártja.
A racionális számok által alkotott topologikus téren (az R által alkotott tér résztere) a halmaznak a határa üreshalmaz ha a irracionális szám.
Egy halmaz határa egy topológiai fogalom és mint olyan megváltozhat ha megváltoztatjuk a topológiánkat. Pl.: legyen adott R2 a hagyományos topológiával, egy zárt körlap Ω = {(x,y) | x2 + y2 ≤ 1} határa a körlapot körbevevő kör: ∂Ω = {(x,y) | x2 + y2 = 1}. Ha most a körlapot mint halmazt az R3 által generált hagyományos topológiából nézzük akkor: Ω = {(x,y,0) | x2 + y2 ≤ 1}, így a határa a körlapnak önmaga: ∂Ω = Ω. Ha pedig a körlapot a saját maga által alkotott topologikus térből nézzük (ami egy résztere az R2 topológiájának), akkor a határ üreshalmaz.
Így:
Bármely S halmazra adott, hogy ∂S ⊇ ∂∂S, mégpedig úgy, hogy az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül ha az S halmaz határa nem tartalmaz belső pontot (mármint a határra nézve belső pont). Ez nem teljesül sem nyílt sem zárt halmazokra. Mivel a határa bármely halmaznak zárt így ∂∂S = ∂∂∂S, bármely S halmazra. A határ operátorra tehát teljesül egy gyenge idempotencia.
Ez a szócikk részben vagy egészben a Boundary (topology) című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.