From Wikipedia, the free encyclopedia
A matematikában a càdlàg (francia: "continue à droite, limitée à gauche" kifejezés), RCLL (angol: "right continuous with left limits") vagy corlol ("continuous on (the) right, limit on (the) left") mind az olyan valós számokon (vagy azok egy részhalmazán) értelmezett folytonos függvények jelölésére szolgáló rövidítés, amelyek az értelmezési tartományuk valamennyi pontjában jobbról folytonosak és ugyanitt létezik a bal oldali határértékük. A kifejezés elterjedt a matematikai függvénykalkulus területén és nem szokás magyar megfelelővel helyettesíteni [forrás?]. olykor az egyszerűség kedvéért az eredeti càdlàg írásmód helyett az ékezetek nélküli cadlag kifejezést használják a magyar irodalmakban. A càdlàg függvények az olyan sztochasztikus folyamatok tanulmányozásában töltenek be fontos szerepet, melyekben elfogadott (néha követelmény) ugrások jelenléte, nem úgy mint pl. a Brown-mozgás esetén, amelynek pályái folytonosak. Egy adott tartományon értelmezett càdlàg függvények családját Skorokhod térnek nevezzük.
Legyen egy metrikus tér és legyen . Egy függvényt càdlàg függvénynek nevezünk, ha esetén
Azaz definíció szerint jobbról folytonos és rendelkezik bal oldali határértékekkel.
Az összes càdlàg függvények terét gyakran jelöli (vagy egyszerűbben ) és ezt Skorokhod-térnek nevezzük Anatolij Skorokhod ukrán matematikus után. A Skorokhod tereket topológiával láthatjuk el, amellyel intuitíven "csavarhatunk egy kicsit a téren és időn" (míg a hagyományos uniform norma topológiában csak "a téren csavarhatunk egy kicsit". Az egyszerűség kedvéért tekintsük a és halmazokat — lásd Billingsley általánosabb konstrukcióért.
Először definiálnunk kell a folytonossági modulus megfelelőjét, . Minden halmazra legyen
és legyen a càdlàg modulus
ahol az infimum az összes partíción fut úgy, hogy . Ez a definíció értelmes nem-càdlàg függvényekre is (ahogy a hagyományos folytonossági modulus is értelmes nem folytonos függvényekre) és megmutatható hogy akkor és csak akkor càdlàg, ha ahogy .
Jelölje most az összes szigorúan monoton növő, folytonos, bijekciók halmazát (ezek az "idő csavarásai"). Legyen
a függvények uniform normája -n. Definiáljuk a Skorokhod-metrikát -n a következőképpen:
ahol az identitás. A "csavarás" intuícióval élve, méri az "időcsavarás" mértékét és méri a "tércsavarás" mértékét.
Megmutatható, hogy a Skorokhod-metrika valóban metrika. A topológiát amit generál, nevezzük Skorokhod-topológiának
Az E-n értelmezett folytonos függvények C tere egy altér D'-n. A C-hez viszonyított Skorokhod topológia érintkezik ezen a halmazon az uniform topológiával.
Megmutatható, hogy bár D nem teljes tér a Skorokhod-metrikára nézve, létezik topologikusan ekvivalens metrika amire nézve D teljes.
Mind σ-ra, mind σ0-ra nézve D egy szeparábilis tér. Így a Skorokhod-terek Lengyel terek.
Az Arzelà-Ascoli-tétel segítségével megmutatható, hogy a D Skorokhod-téren értelmezett valószínűségi mértékek egy sorozata feszes akkor és csak akkor, ha a következő feltételek mindegyike teljesül:
és
A Skorokhod-topológia és a függvények pontonkénti összeadása felett D nem alkot topologikus csoportot.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.