![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Hasse_diagram_of_powerset_of_3.svg/langhu-640px-Hasse_diagram_of_powerset_of_3.svg.png&w=640&q=50)
Boole-algebra (struktúra)
matematikai struktúra / From Wikipedia, the free encyclopedia
A matematikában, közelebbről az algebrában a Boole-algebra (vagy Boole-háló) az a kétműveletes algebrai struktúra (egy halmaz, az elemei között értelmezett két művelettel ellátva), amely a halmazműveletek, a logikai műveletek és az eseményalgebra műveleteinek közös tulajdonságaival rendelkezik. Matematikai szemszögből a Boole-algebra olyan legalább kételemű egységelemes, zéruselemes háló, mely disztributív és komplementumos. Ez utóbbi tulajdonság azt jelenti, hogy az
halmaz minden a elemére teljesül, hogy létezik olyan
elem, hogy:
ahol 1 az egységelem, 0 a zéruselem, -t pedig az
komplementerének nevezzük.
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Hasse_diagram_of_powerset_of_3.svg/320px-Hasse_diagram_of_powerset_of_3.svg.png)
George Boole angol matematikus mutatott rá először arra, hogy az alábbi három terület közötti szoros algebrai jellegű kapcsolat áll fenn:
- egy tetszőleges H halmaz hatványhalmaza, a H részhalmazai közötti unió és metszet tulajdonsággal; az A részhalmaz komplementere a H azon elemei, melyek nincsenek benne A-ban
- az „igazságértékek”
halmaza, a logikai összeadás és a szorzás műveletével (mely rendre a „vagy” és az „és” szerepét tölti be); az
elem komplementere
, az elem negációja
- a valószínűség-elmélet egy
eseménytere, az események közötti összeg és szorzat műveletével; az
komplementer az az esemény, hogy az
esemény nem következik be.
Mivel az igaz értéket bináris számokkal vagy logikai áramkörök feszültségszintjeivel is azonosíthatjuk, a párhuzam ezekre is fennáll. Így a Boole-algebra elmélete rengeteg gyakorlati alkalmazással bír a villamosmérnöki szakma és a számítógép-tudomány területén, valamint a matematikai logikában. Erről lásd még: Boole-algebra (informatika).
Minden Boole-algebra megfeleltethető egy relációs struktúrának az megfeleltetéssel. Ez a hálóelméleti definíció nyújt lehetőséget a Boole-algebra általánosítására. Ez a Heyting-algebra, mely nem tartalmazza azt a megkötést, hogy egy kijelentésnek mindenképpen igaznak vagy hamisnak kell lennie (lásd a fenti komplementer azonosságot). Míg a Boole-algebra a klasszikus propozicionális logika algebrai interpretációjának tekinthető, addig a Heyting-algebra az intuicionista logika algebrai interpretációját adja.