Vektorski produkt

Vektorski produkt (rjeđe vektorski umnožak) je binarna matematička operacija na dva vektora u euklidskom trodimenzionalnom prostoru. Označava se simbolom ×. Za dva linearno nezavisna vektora ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$ i ${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$, njihov vektorski produkt ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}}$ je vektor koji je okomit na oba vektora (normala na ravninu koju ti vektori razapinju), a njegov iznos je jednak površini paralelograma kojeg ta dva vektora razapinju. Orijentaciju vektora daje nam pravilo desne ruke. U slučaju da vektori ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$ i ${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$ nisu linearno nezavisni (dakle jedan je linearna kombinacija drugoga, odnosno imaju isti smjer), njihov vektorski produkt je nul-vektor.

Pravilo desne ruke određuje orijentaciju vektorskog produkta

Iznos vektorskog produkta dvaju vektora jednak je površini paralelograma kojeg razapinju

Formalna definicija

Vektorski produkt se definira kao operacija ${\displaystyle \times$ :(E^{3},E^{3})\rightarrow E^{3}} za koju vrijedi

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}=(|{\overrightarrow {a}}|\times |{\overrightarrow {b}}|\sin \theta ){\overrightarrow {n}}}$

gdje su ${\displaystyle {\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}}\in E^{3},}$ ${\displaystyle \theta }$ kut između dvaju vektora, a ${\displaystyle {\overrightarrow {n}}}$ vektor okomit na vektore ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$ i ${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$.

Definira se i pomoću determinante:

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}={\begin{vmatrix}{\overrightarrow {i}}&{\overrightarrow {j}}&{\overrightarrow {k}}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle ={\overrightarrow {i}}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})-{\overrightarrow {j}}(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})+{\overrightarrow {k}}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})=}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}}$

gdje su ${\displaystyle {\overrightarrow {i}}=(1,0,0)}$, ${\displaystyle {\overrightarrow {j}}=(0,1,0)}$ i :${\displaystyle {\overrightarrow {k}}=(0,0,1)}$ vektori kanonske baze trodimenzionalnog euklidskog vektorskog prostora, E³.

Svojstva

• Iznos vektorskog produkta dvaju vektora je površina paralelograma razapetog tim vektorima

${\displaystyle |{\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}|=|{\overrightarrow {a}}||{\overrightarrow {b}}||\sin \theta |}$

• Vektorski produkt vektora samog sa sobom je nul-vektor.

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {0}}}$

• Vektorski produkt okomit je na oba vektora koji ga čine
• Antikomutativan je

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}=-({\overrightarrow {b}}\times {\overrightarrow {a}})}$

• Distributivan je prema zbrajanju

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\times ({\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {c}})=({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}})+({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {c}})}$

• Za množenje skalarom vrijedi:

${\displaystyle (\alpha \cdot {\overrightarrow {a}})\times {\overrightarrow {b}}={\overrightarrow {a}}\times (\alpha \cdot {\overrightarrow {b}})=\alpha \cdot ({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}})}$

• Nije asocijativan
• Ne može se kratiti, tj. ako vrijedi ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}={\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {c}}}$ i ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\neq {\overrightarrow {0}}}$, ne slijedi ${\displaystyle {\overrightarrow {b}}={\overrightarrow {c}}}$, nego samo ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\times ({\overrightarrow {b}}-{\overrightarrow {c}})={\overrightarrow {0}}}$ kroz distributivnost prema zbrajanju. Ta jednakost može biti zadovoljena ako su vektori ${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$ i ${\displaystyle {\overrightarrow {c}}}$ jednaki, ali i ako su ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$ i ${\displaystyle {\overrightarrow {b}}-{\overrightarrow {c}}}$ paralelni, tj. linearna kombinacija jedan drugoga.

Također pogledati

• Skalarni produkt
• Mješoviti produkt