Normala

Normala je najopćenitije pravac ili vektor koji je okomit na objekt o kojem se govori (npr. normala na krivulju, normala na površinu i sl.).

Normala na površinu

Normala na krivulju

Normala na krivulju ${\displaystyle y=f(x)}$ u točki ${\displaystyle x_{0}}$ predstavlja pravac koji prolazi kroz točku ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ i okomit je na tangentu krivulje u toj točki. Budući da je interpretacija prve derivacije funkcije koeficijent smjera pravca, od. tangente, to je jednadžba normale

${\displaystyle y-f(x_{0})=-{\frac {1}{f'(x_{0})}}(x-x_{0}),}$

uz pretpostavku da prva derivacija ne iščezaje u točki ${\displaystyle x_{0}}$, tj. ${\displaystyle (f'(x_{0})\neq 0).}$

Ako je ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$, tada je jednadžba normale ${\displaystyle x=x_{0}}$, tj. normala je očito paralelna s ${\displaystyle y}$-osi.

Vektor normale je vektor koji leži na prethodno definiranom pravcu – normali. Pod pojmom normala, dakle, nekad razumijevamo prethodno definirani pravac, a nekad vektor koji leži na tom pravcu. Vektor normale po dogovoru najčešće gleda „van” krivulje.

Normala na površinu

Vektorsko polje normala na površinu

Vektor normale na površinu u točki ${\displaystyle T}$ je vektor okomit na tangencijalnu ravninu površine u točki ${\displaystyle T}$. U slučaju ravne površine, očito je to vektor okomit na samu tu ravninu, i dan je vektorskim produktom bilo kojih dvaju vektora koja leže u ravnini. Ravnina, dakle, može imati normalu u dva smjera.

Normala na opću površinu, parametriziranu sustavom krivolinijskih koordinata ${\displaystyle \mathbf {x} (s,t)}$, gdje su ${\displaystyle s}$ i ${\displaystyle t}$ realne varijable, dana je vektorskim umnoškom parcijalnih derivacija po respektivnim koordinatama:

${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}.}$

Normala na opću površinu, zadanu implicitno jednadžbom

${\displaystyle f(x,y,z)=0,}$

u točki ${\displaystyle T=(x,y,z)}$ dana je gradijentom:

${\displaystyle \nabla f(x,y,z).}$

Iznimke

Ako određena površina u nekoj točki nema definiranu tangencijalnu ravninu, onda tu nema definiranu ni normalu. Tako, npr., valjak nema definiranu normalu na spoju plašta i dna, stožac nema normale u vrhu; u dvije dimenzije, funkcija ${\displaystyle f(x)=|x|}$ nema definiranu normalu u ishodištu.

Jedinstvenost

Već smo kod normale na krivulju mogli nazreti da normala nema jedinstven smjer – vektor normale na pravac već ima dva moguća smjera. Za orijentiranu površinu, normala se određuje pravilom desne ruke, tj., rečeno intuitivno, „gleda prema van”.

Vanjske poveznice

• Tangenta i normala
• Java applet za traženje normale  Arhivirana inačica izvorne stranice od 16. svibnja 2008. (Wayback Machine)