U matematici, razlomak je broj koji opisuje jedan ili više jednakih dijelova cjeline.
Kolač podijeljen na četvrtine, s jednom četvrtinom uklonjenom. Svaku četvrtinu opisuje razlomak ¼, a sve tri zajedno razlomak ¾.
Jednostavni ili obični razlomak je količnik koji se dobiva dijeljenjemcijelog brojaprirodnim. Zapisuje se pomoću kose crte kao npr. 7/4 ili pomoću vodoravne razlomačke crte npr. .
Skup svih brojeva koji se mogu zapisati pomoću jednostavnog razlomka zove se skup racionalnih brojeva, a označava se znakom .
Djeljenik se zove brojnik razlomka, a nalazi se lijevo od kose crte ili iznad razlomačke crte. Djelitelj se zove nazivnik razlomka, a nalazi se desno od kose crte ili ispod razlomačke crte.
Pravi razlomak je razlomak čija je apsolutna vrijednost manja od 1, npr. . Apsolutna vrijednost nepravog razlomka veća je ili jednaka 1, npr. .
Miješani broj suma je cijelog broja različitog od nule i pravog razlomka. Suma je prikazana bez znaka plus "+". Na primjer, ako imamo dvije torte i tri četvrtine treće torte, imamo torte. Nepravi razlomak pretvaramo u miješani broj tako da podijelimo brojnik s nazivnikom, tada je cijeli dio količnika a, ostatak je b, a nazivnik c ostaje isti kao na početku.
Dvojni razlomak je razlomak kojemu su brojnik i nazivnik razlomci. Pojednostavljuju se u jednostavan razlomak tako da je novomu razlomku brojnik umnožak vanjskih brojeva, a nazivnik umnožak unutarnjih brojeva. Alternativno, možemo najdulju razlomačku crtu zamijeniti znakom za dijeljenje pa podijeliti dobivene razlomke:
Ako je brojnik ili nazivnik dvojnog razlomka cijeli broj tada ga pišemo u obliku razlomka s nazivnikom 1:
Omjer
Razlomak se može pisati i u obliku omjera npr. , za koji vrijedi:
Proširivanje razlomaka
Razlomak proširujemo tako da njegov brojnik i nazivnik pomnožimo nekim cijelim brojem c. Prošireni razlomak je jednak početnom razlomku.
Skraćivanje razlomaka
Razlomak skraćujemo tako da njegov brojnik i nazivnik podijelimo nekim cijelim brojem c. U pravilu su brojnik i nazivnik djeljivi brojem c. Skraćeni razlomak jednak je početnom razlomku.
Parnost nazivnika
Vjerojatnost da je nazivnik nekog razlomak paran iznosi 1: 3 jer imamo tri mogućnosti za brojnik i nazivnik: oba su neparna; brojnik je paran, a nazivnik neparan; brojnik je neparan, a nazivnik paran. Ne promatramo slučaj kad su i brojnik i nazivnik parni, jer se tada razlomak može skratiti i u tom slučaju brojnik ili nazivnik je neparan.
Recipročna vrijednost
Ako imamo jednostavni razlomak , recipročna vrijednost iznosi mu .[1] Recipročna vrijednost cijelog broja a iznosi . Recipročna vrijednost broja oblika jednostavnog razlomka iznosi a.
Zbrajanje i oduzimanje
Prilikom zbrajanja i oduzimanja, razlomci se svode na najmanji zajednički nazivnik. On je najmanji zajednički višekratnik nazivnika tih razlomaka. Nakon svođenja na zajednički nazivnik, brojnici se zbroje ili oduzmu ovisno o operaciji.
Ako zbrajamo razlomak i cijeli broj, cijeli broj možemo pisati kao razlomak s nazivnikom 1 te normalno svodimo na zajednički nazivnik te ih zbrojimo.
Množenje
Množenje dvaju razlomka
Razlomci se množe tako da im se pomnože brojnici te nazivnici. Umnožak brojnika postaje brojnik rezultata, a umnožak nazivnika postaje nazivnik rezultata.
Prilikom množenja dvaju ili više razlomaka bilo koji brojnik smije se pokratiti s nekim nazivnikom.
Množenje razlomka cijelim brojem
Cijeli broj zapisujemo u obliku razlomka s nazivnikom 1 te normalno množimo brojnike i nazivnike.
Dijeljenje
Razlomke dijelimo tako da djeljenik pomnožimo recipročnim djeliteljem.
Uspoređivanje
Razlomke možemo usporediti tako da ih svedemo na zajednički nazivnik te im usporedimo brojnike. Ako imamo mješovite brojeve, zapišemo ih u obliku nepravih razlomaka, svedemo ih na zajednički nazivnik te im usporedimo brojnike. Primijetimo da ne moramo svesti na zajednički nazivnik jer on ne sudjeluje u uspoređivanju brojnika. Zato razlomke i uspoređujemo unakrsno. Ako je a · d < b · c, drugi je razlomak veći. Ako je a · d > b · c, prvi je razlomak veći. Inače, razlomci su jednaki.[2]
Ovdje ćemo potanko dokazati svojstva zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja razlomaka. Nakon kojih će se, ma kako složen bio, svaki razlomak moći izračunati.
Napomena. Radi jednostavnosti, a bez smanjenja općenitosti, sve varijable koje budemo koristili bit će prirodnibrojevi.
1. Svojstvo zbrajanja
. Kako smijemo zbrajati samo polovine s polovinama, trećine s trećinama, ..., takvo pravilo vrijedi i ovdje. Brojevima nađemo odnosno najmanji zajednički višekratnik, ili ih jednostavno pomnožimo, iz čega slijedi pravilo. Ovdje smo koristili očitu jednakost .
2. Svojstvo oduzimanja
Ovo pravilo direktno slijedi iz svojstva zbrajanja, tj. vrijedi
.
3. Svojstvo množenja
Izravno iz definicije razlomka slijedi .
Dokažimo da vrijedi . Ovdje se zapravo pitamo koliko iznosi -terostruka -tina broja . To je isto kao da prvo izračunamo -tinu tog broja pa ju pomnožimo s . Formalno, , što je i trebalo dokazati. Sada je jasno i da je .
4. Svojstvo dijeljenja
Pogledajmo odmah primjer dijeljenja dva razlomka. Dokažimo da vrijedi . Naime da imamo primjerice razlomak , to bi značilo da svaku -terostruku -tinu dijelimo na jednakih dijelova, dakle nazivnik postaje . No, ako taj dijelimo još na -tine to znači da razlomak postaje puta veći.
Time su na jednostavan i praktičan način dokazana sva nužna i dovoljna pravila za račun s razlomcima.
Nazivnik kao kvadratni korijen
Racionaliziramo nazivnik tako da razlomak proširujemo brojem koji je jednak nazivniku razlomka.[3]
Nazivnik kao viši korijen
Ako je nazivnik oblika , razlomak proširujemo s :
Nazivnik kao binom
Ako je nazivnik oblika a - b, razlomak proširujemo s a + b.
Ako je nazivnik oblika a + b, razlomak proširujemo s a - b.
Borjana Brdar, Marijana Hunjek i Nikola Lepen. str. 7(PDF). Uvođenje skupa racionalnih brojeva. Matematički odsjek, Prirodoslovno-matematički fakultet u Zagrebu. Pristupljeno 28. srpnja 2016.|url-status=dead zahtijeva |archive-url= (pomoć)
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.