From Wikipedia, the free encyclopedia
U elementarnoj algebri, binomni poučak opisuje algebarsko proširivanje potencije binoma. Prema tom poučku moguće je (x + y)n proširiti u sumu koja uključuje izraze oblika axbyc, gdje su b i c pozitivni cijeli brojevi, i koeficijent a je specifični pozitivni broj ovisan o n i b. Kada je eksponent jednak nuli, taj se element izostavi iz niza. Na primjer :
Koeficijent a u izrazu axbyc je također poznat kao binomni koeficijent ili (ova dva imaju istu vrijednost). Ovi koeficijenti za različite n i b se mogu složiti u Pascalov trokut. Ovi se brojevi također pojavljuju u kombinatorici, gdje daje broj različitih kombinacija b elemenata izabranih iz skupa od n elemenata.
Formula i prikaz binomnih koeficijenata u obliku trokuta se često pripisuju Blaiseu Pascalu, koji ih je opisao u 17. stoljeću, iako je bio poznat mnogim matematičarima prije njega. U 4. stoljeću pr. Kr grčki matematičar Euklid je znao posebni slučaj binomnog poučka za n=2, kao i u 3. stoljeću pr. Kr indijski matematičar Pingala za više eksponente. Općeniti binomni poučak i takozvani "Pascalov trokut" su bili poznati u 10. stoljeću poslije Krista indijskom matematičaru Halayudhi i perzijskom matematičaru Al-Karaji, te u 11. stoljeću perzijskom pjesniku i matematičaru Omaru Khayyamu,i u 13. stoljeću kineskom matematičaru Yangu Huiu, koji su svi imali slične rezultate. Al-Karaji je također dokazao binomni poučak i "Pascalov trokut", koristeći matematičku indukciju.
Prema poučku, moguće je proširiti bilo koju potenciju od x + y u zbroj oblika :
, gdje je specifični pozitivan broj poznat kao binomni koeficijent. Ovo je također poznato kao binomna formula ili binomni identitet. Također se može zapisati kao :
Jedna od varijanti binomne formule se dobiva zamjenom 1 za y, tako da ima samo jednu varijablu. U ovom obliku, formula izgleda ovako :
ili ekvivalentno :
Dokazat ćemo teorem za a analogno se dokazuje za bilo koji prirodni broj
Želimo izračunati
Prema distributivnom pravilu u algebri proširujemo izraz:
Uočimo da će svaki pribrojnik imati točno tri faktora te da su neki pribrojnici jednaki, tj. da se ponavljaju. Ta pravilna ponavljanja će nam dati tzv. binomne koeficijente. Uočimo da smo raspisivanjem na ovaj način dobili svaku moguću listu ili poredak dva objekta, raspoređenih na mjesta. Napomenimo još da je svaki poredak, tj. pribrojnik u raspisu, naveden točno jednom (iako su, očito nakon računanja, primjerice, pribrojnici jednaki) te svaki pribrojnik odgovara nekom od mogućih poredaka. Zato će biti moguće jednostavno provesti sljedeći kombinatorni račun.
Nađimo, na primjer, koliko ima pribrojnika koji sadrže točno dva faktora , tj. nabrojimo koliko ima pribrojnika koji su jednaki
Označimo prvo mjesto liste s drugo s , itd. te neka je Sada zapravo tražimo na koliko načina možemo izabrati 2 elementa skupa s tim da poredak u potpunosti zanemarujemo, tj. npr. odabir je očito jednak odabiru jer ne permutiramo jedan objekt, u ovom slučaju faktor .
Tih odabira ima točno
Dakle, faktora ima , faktora ima faktora ima te konačno faktora ima
Ovdje je moguće uočiti i osnovne relacije iz Pascalova trokuta zbog simetričnosti strukture koju promatramo.
Sada možemo prijeći na generalni slučaj, te koristimo distributivno pravilo na gore navedeni način.
Svaki pribrojnik će imati faktora. Označimo prvo mjesto s drugo mjesto s itd. Dakle, zapravo tražimo broj načina za izabrati elemenata iz
Tražimo koliko ima pribrojnika koji imaju faktora Sada je jasno da zapravo tražimo broj načina za izabrati elemenata iz Broj načina je jednak
Uz to, uočimo još da je prema gornjoj argumentaciji -ti član u raspisu zaista
Binomna se formula, odnosno ekspanzija izraza , jednostavno može dokazati metodom matematičke indukcije.
Za valjanost formule je očigledna.
Pretpostavimo zato da je formula ispravna za neki prirodni broj .
Tada je .
Prema pretpostavci, sada pišemo , što daje .
Zbrajajući članove ove ekspanzije, dobivamo da je binomni koeficijent ispred monoma jednak .
Pascalovom pravilo za binomne koeficijente je
Vrijedi identitet za binomne koeficijente
, a zovemo ga Pascalovom formulom (ili pravilom), a njenom primjenom odmah slijedi valjanost formule za .[1] [2]
Najjednostavniji primjer je kvadrat od x+y :
Binomni koeficijenti 1, 2, 1 se pojavljuju u trećem redu Pascalova trokuta. Koeficijenti za veće eksponente se nalaze u nižim redovima Pascalova trokuta.
Primijetite da :
Za binome koji imaju oduzimanje, poučak se također može primijeniti, sve dok mijenjamo predznak svako drugom koeficijentu u izrazu :
Za pozitivne vrijednosti a i b, binomni poučak za n = 2, geometrijski je očito da se kvadrat sa stranicom (a+b) može izrezati u kvadrat sa stranicom , kvadrat sa stranicom , i dva pravokutnika da stranicama a i b. Za n=3, poučak kaže da se kocka sa stranicom (a + b) može izrezati u kocku sa stranicom , kocku sa stranicom , tri kvadra oblika a×a×b te tri kvadra oblika a×b×b.
Koeficijenti koji se pojavljuju u binomnom poučku se zovu binomni koeficijenti.
Koeficijent od xn−kyk je zadan formulom
koji je definiran funkcijom faktorijela. Također, formula se može zapisati kao :
Iako ova formula sadrži razlomak, rezultat je uvijek cijeli broj. Dokaz:
Poučak je moguće generalizirati s na . Zato se taj generalizirani teorem naziva Polinomijalna formula ili ponegdje Multinomni teorem. Kombinatorni dokaz tog teorema sličan je dokazu navedenom u ovom članku.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.