שיפוע

בגאומטריה, שיפוע של ישר מתאר את עוצמת התלילות שלו. ערך (מוחלט) גדול מצביע על תלילות גדולה. השיפוע מוגדר כיחס בין ההפרש האנכי בין שתי נקודות על הישר להפרש האופקי בין אותן נקודות (ראו באיור משמאל).

שיפוע של ישר: m = Δy/Δx.

תמרור אזהרה בהולנד על שיפוע של 10%

באופן דומה נגדיר שיפוע בתחומי הגאוגרפיה או הנדסה אזרחית. כך למשל, שיפוע של גבעה יוגדר כיחס בין הרום היחסי של הגבעה למרחק האופקי מתחתית הגבעה לשיאה. במילים אחרות, השיפוע מצביע על היחס בין שינוי הגובה לשינוי במרחק. כלומר, בגבעה תלולה המרחק האופקי בין תחתית הגבעה לשיאה יהיה קצר יחסית לגובה של הגבעה, בעוד שבגבעה מתונה המרחק האופקי יהיה ארוך ושיא הגבעה יהיה נמוך.^[1]

שיפוע יכול להיות חיובי, שלילי, אפס או לא מוגדר. בישר הנמצא במערכת צירים קרטזית דו-ממדית, שיפוע חיובי משמעו שכאשר ערך ה-x גדל גם ערך ה-y גדל ("עלייה"). שיפוע שלילי משמעו שכאשר ערך ה-x גדל ערך ה-y קטן ("ירידה"). שיפוע שערכו אפס משמעו שאין שיפוע, כלומר מדובר בקו אופקי המקביל לציר ה-x. שיפוע לא מוגדר משמעו שמדובר בקו אנכי המקביל לציר ה-y.

ישרים מקבילים כאשר השיפועים שלהם שווים. ישרים ניצבים זה לזה כאשר מכפלת השיפועים שלהם שווה ל: 1-. בעזרת כלים מהחשבון האינפיניטסימלי ניתן להגדיר גם שיפוע של פונקציה בנקודה כלשהי כשיפוע של הישר המשיק לפונקציה בנקודה זו. כאשר קיים שיפוע כזה נאמר שהפונקציה גזירה בנקודה והשיפוע שלה נקרא נגזרת.

הנוסחה הבסיסית למציאת שיפוע ישר העובר בין הנקודות ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ו- ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ היא ${\displaystyle \,m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$.

הגדרה

השיפוע ${\displaystyle m}$ בין שתי הנקודות ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ו־${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ על הישר מוגדר להיות השינוי בערכי ה-${\displaystyle y}$ לחלק בשינוי בערכי ה-${\displaystyle x}$: ${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$^[2]. האות ${\displaystyle m}$ היא המוסכמת לסימון שיפוע במערכת צירים קרטזית. היות שהשיפוע של ישר במישור שווה לאורך כל אורכו, אין חשיבות לאילו שתי נקודות נבחר על הישר, כל עוד הן שונות זו מזו.

על פי ההגדרה מתקיים כי ${\displaystyle m\cdot {\Delta x}={\Delta y}}$. כלומר, כאשר נעים על הישר משמאל לימין, על כל התקדמות של יחידה אחת בכיוון האופקי יש התקדמות של ${\displaystyle m}$ יחידות בכיוון האנכי. ניתן להראות כי על פי חוקי הטריגונומטריה מתקיים: ${\displaystyle \,m=\tan \theta \!}$, כאשר ${\displaystyle \theta }$ היא הזווית שבין ציר ה-${\displaystyle x}$ לישר (בכיוון החיובי).

במערכת צירים קרטזית, משוואת ישר ששיפועו ${\displaystyle m}$ היא: ${\displaystyle \!\,y=mx+b}$,,כאשר ${\displaystyle \ b}$מייצג את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-${\displaystyle y}$.

עבור ישר אופקי מתקיים ${\displaystyle \Delta y=0}$ ו-${\displaystyle \Delta x\neq 0}$ ולכן השיפוע שווה ל-0.

עבור קו אנכי ${\displaystyle \Delta y\neq 0}$ ו-${\displaystyle \Delta x=0}$ ואז לפי הגדרת השיפוע מתקבל ${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{0}}}$. בהכרח מתקבלת חלוקה באפס ולכן השיפוע אינו מוגדר. אולם יש המגדירים את השיפוע במקרה זה להיות אינסופי.

דוגמאות

שיפוע של ישר העובר דרך הנקודות: (1,2) ו- (13,8) מתקבל על ידי חישוב היחס של ההפרש האנכי וההפרש האופקי: ${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}}$

שיפוע של ישר העובר דרך הנקודות: (4,15) ו- (3,21) הוא: ${\displaystyle m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6}$

ראו גם

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: שיפוע

• פונקציה ליניארית
• מישור משופע

קישורים חיצוניים

• שיפוע, באתר MathWorld (באנגלית)
• שיפוע, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערות שוליים

1. ראו גם בערך תל המתלקט
2. האות היוונית Δ (דלתא) משמשת בדרך כלל במתמטיקה כדי לסמל "הבדל" או "שינוי".