קבוצה קומפקטית

קבוצה קומפקטית היא תת-קבוצה של מרחב טופולוגי, שלכל כיסוי פתוח שלה קיים תת-כיסוי סופי. אם המרחב הטופולוגי כולו מקיים את התכונה הזו, הוא נקרא מרחב קומפקטי.

מושג הקומפקטיות מכליל תכונות שמתקיימות על ידי קבוצות סגורות וחסומות במרחבים מטריים, כדוגמת הקטע ${\displaystyle [0,1]=\{x:0\leq x\leq 1\}}$ בישר הממשי. כדי להכליל את המושג של קטע סגור וחסום למרחבים טופולוגיים שאינם מטריים, משתמשים בעובדה שתכונות רבות של הקטעים הסגורים נובעות ישירות מכך שאם מכסים קטע סגור בקטעים פתוחים, מובטח שקיים מספר סופי של קטעים מבין אלה המשתתפים בכיסוי המכסה את הקטע הנתון.

קומפקטיות היא תכונה בעלת חשיבות יסודית באנליזה מתמטית, משום שמשפטים חשובים הנוגעים לפונקציות רציפות בקטע סגור, כגון משפט קנטור על רציפות במידה שווה ומשפטי ויירשטראס, תקפים גם עבור פונקציות ממשיות שהן רציפות בקבוצה קומפקטית.

במרחב מטרי, כל קבוצה קומפקטית היא סגורה וחסומה. משפט היינה-בורל קובע שבמרחבים האוקלידיים ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, גם ההפך נכון: כל קבוצה סגורה וחסומה במרחב כזה היא קומפקטית.

היסטוריה

מושג הקומפקטיות הופיע בצורה מפורשת רק בתחילת המאה העשרים, אך ניצניו מצויים בהתפתחויות עיקריות באנליזה המתמטית מתחילת הרבע האחרון של המאה התשע-עשרה. ב-1817 אפיין בולצאנו את תכונת החסם העליון של הממשיים, שעל בסיסה הוכיח ויירשטראס ב-1877 את משפט בולצאנו-ויירשטראס: קבוצה בממשיים כוללת גבול לכל סדרה אם ורק אם היא סגורה וחסומה. במקביל לגישה זו שחקרה את הממשיים באמצעות סדרות, התפתחה גישה הלומדת אותם באמצעות קטעים פתוחים. ב-1872 הוכיח אדוארד היינה (1821-1881) שפונקציה רציפה בקטע סגור היא רציפה במידה שווה (דיריכלה הוכיח זאת כבר ב-1852, אלא שהגרסה שלו לא פורסמה עד 1904). בהמשך לעבודתו של היינה, הראה אמיל בורל בעבודת הדוקטורט שלו ב-1894 שקטע סגור בממשיים הוא, במונחים מודרניים, קומפקטי. מושג הרציפות במידה שווה עמד ביסוד משפט ארצלה-אסקולי (1883 ו-1893) על התכנסות במידה שווה של סדרות של פונקציות רציפות.

מוריס פרשה היה זה שזיהה את החשיבות של הקומפקטיות כמושג עצמאי, ואף טבע את המונח ב-1906, כשהוא מגדיר מה שידוע היום כקומפקטיות יחסית (לקבוצה יש סגור קומפקטי). את ההגדרה המקובלת היום טבעו פבל אלכסנדרוב ופבל סמואילוביץ' אוריסון ב-1923 (בתחילה בשם "בי-קומפקטיות"). בורבקי (בשנות הארבעים) כינה מרחבים קומפקטיים בשם קוואזי-קומפקטיים, כשהוא שומר את המונח עצמו למרחבים קומפקטיים האוסדורף.

כיסויים וקומפקטיות

כיסוי פתוח של קבוצה ${\displaystyle K}$ במרחב טופולוגי הוא אוסף של קבוצות פתוחות, שהקבוצה ${\displaystyle K}$ מוכלת באיחוד שלהן. במילים אחרות, כל נקודה של ${\displaystyle K}$ שייכת לפחות לאחת הקבוצות באוסף. אם אוסף קטן יותר מהווה כיסוי של אותה קבוצה ${\displaystyle K}$, הוא נקרא תת כיסוי.

קבוצה קומפקטית היא קבוצה בעלת התכונה הבאה: לכל כיסוי פתוח של הקבוצה, קיים תת-כיסוי סופי^[1]. לדוגמה, כל קבוצה סופית היא קומפקטית, ובמידת מה אפשר לחשוב על הקומפקטיות כעל הכללה טופולוגית של מושג הסופיות; הקבוצות הקומפקטיות הן 'הקבוצות הקטנות' של המרחב הטופולוגי. אם המרחב הטופולוגי כולו מקיים את התכונה הזו, הוא נקרא מרחב קומפקטי.

בעזרת הדואליות בין קבוצות פתוחות וקבוצות סגורות, אפשר לנסח את תכונת הקומפקטיות גם באופן הבא: במרחב קומפקטי, אם אוסף של קבוצות סגורות מקיים את תכונת החיתוך הסופי (החיתוך של כל מספר סופי של קבוצות מהמשפחה אינו ריק), אז גם החיתוך של המשפחה כולה אינו ריק.

בספרים אחדים (במיוחד בתחום הגאומטריה האלגברית) מייעדים את התואר 'קומפקטי' רק למרחבי האוסדורף קומפקטיים, אולם זוהי הגדרה פחות מקובלת של המושג. בספרים אלו מרחב שהוא קומפקטי ואינו האוסדורף נקרא קוואזי-קומפקטי.

תכונת לינדלוף וקומפקטיות מנייתית

אפשר לפרק את תכונת הקומפקטיות לשני מרכיבים חלשים יותר. קבוצה מקיימת את תכונת לינדלוף אם לכל כיסוי אינסופי שלה יש תת-כיסוי בן מנייה; וקבוצה נקראת קומפקטית מנייתית אם לכל כיסוי בן מנייה שלה, יש תת-כיסוי סופי. כמובן, קבוצה קומפקטית מקיימת את שתי התכונות האלה. באופן יותר כללי, בהינתן מונה ${\displaystyle k}$, נאמר שמרחב טופולוגי הוא ${\displaystyle k}$-קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח שלו יש תת-כיסוי שעוצמתו קטנה ממש מ-${\displaystyle k}$.

סיגמא-קומפקטיות

מרחב שהוא איחוד סדרה בת מנייה של קבוצות קומפקטיות נקרא סיגמא-קומפקטי. מרחב מקיים את תכונת מנגר אם לכל סדרה של כיסויים פתוחים שלו, אפשר לבחור תת-קבוצה סופית מכל כיסוי, כך שאיחוד כל הקבוצות שנבחרו מכסה את המרחב. עבור מרחבים מטריים, תכונה זו שקולה לכך שלכל בסיס של המרחב יש תת-כיסוי בן-מנייה עם קוטר השואף לאפס. מרחב מקיים את תכונת הורביץ' אם לכל סדרה של כיסויים פתוחים שלו אפשר לבחור תת-קבוצה סופית ${\displaystyle F_{n}}$ מכל כיסוי, כך שכל נקודה במרחב מכוסה על ידי איחוד הקבוצות בכמעט כל ${\displaystyle F_{n}}$^[2].

כל מרחב סיגמא-קומפקטי מקיים את תכונת הורביץ'; כל מרחב הורביץ' מקיים את תכונת מנגר (ההפך אינו נכון אפילו בישר הממשי - חבר ופול, 2002); כל מרחב מנגר הוא בפרט לינדלוף. מרחב בייר הוא לינדלוף אבל אינו מנגר. כל "קבוצת לוזין" היא מנגר אבל לא סיגמא-קומפקטית, וקבוצות לוזין קיימות תחת השערת הרצף. (קבוצת לוזין היא תת-קבוצה של הישר הממשי, שאינה בת-מנייה, אבל החיתוך שלה עם כל קבוצה דקה הוא בן-מנייה לכל היותר).

תכונות סמוכות

קומפקטיות סדרתית

אחת התכונות החשובות של קבוצות קומפקטיות במרחבים מטריים מתוארת במשפט בולצאנו-ויירשטראס: לכל סדרה בקבוצה קומפקטית יש תת-סדרה מתכנסת. קבוצה המקיימת תכונה זו היא קומפקטית סדרתית. במרחב מטרי התכונה שקולה לקומפקטיות, אבל במרחבים טופולוגיים כלליים אלו שתי תכונות שונות, שאינן בהכרח גוררות זו את זו. במרחבים המקיימים את תכונת המנייה הראשונה, קומפקטיות סדרתית שקולה לקומפקטיות מנייתית.

מכיוון שמרחב מטרי קומפקטי הוא קומפקטי סדרתית, כל מרחב כזה הוא שלם (שהרי סדרת קושי שיש לה תת-סדרה מתכנסת, היא בעצמה סדרה מתכנסת).

קומפקטיות בחסימות

מרחב מטרי הוא קומפקטי בחסימות (boundedly compact) אם כל קבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית (די בכך שכל כדור סגור הוא קומפקטי). משפט היינה-בורל קובע שהמרחב האפיני הוא קומפקטי בחסימות. כל מרחב קומפקטי הוא קומפקטי בחסימות. כל מרחב קומפקטי בחסימות הוא שלם. כל יריעת רימן שלמה היא קומפקטית בחסימות (משפט Hopf-Rinow).

תכונות שקולות לקומפקטיות

מרחב ${\displaystyle X}$ הוא קומפקטי אם ורק אם לכל חיתוך כלשהו של סגורות ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}F_{i}=\emptyset }$ קיים חיתוך סופי שהוא ריק. עובדה זו נובעת מן ההגדרה.

שקילות להתכנסות על מסננים. תחת אקסיומת הבחירה קיימים על מסננים, ואז מתקיים כי המרחב ${\displaystyle (X,\tau )}$ קומפקטי אם ורק אם כל על מסנן ${\displaystyle F\subseteq P(X)}$ מתכנס.

הוכחה. בכיוון אחד, נניח כי ${\displaystyle X}$ קומפקטי ויהא ${\displaystyle F}$ על מסנן. נסמן ב-${\displaystyle S}$ את החיתוך של כל הקבוצות הסגורות ב-${\displaystyle F}$. בגלל קומפקטיות ${\displaystyle S}$ אינו ריק (שהרי אם היה ריק אזי היה חיתוך סופי ריק בסתירה להגדרת מסנן). ולכן קיים איבר ${\displaystyle x}$ בחיתוך. כעת ברור כי ${\displaystyle x}$ הוא גבול של ${\displaystyle F}$ כי כל סביבה פתוחה שלו שייכת ל-${\displaystyle F}$ (שאם לא כך, יש סביבה ${\displaystyle U}$ פתוחה שלא ב-${\displaystyle F}$ אבל אז המשלים שלה ב-${\displaystyle F}$ כי ${\displaystyle F}$ על מסנן והמשלים שלה סגור ולכן ${\displaystyle x}$ שייך אליו בסתירה לכך שהוא ב-${\displaystyle U}$). בכיוון שני, נניח כי כל על מסנן מתכנס ונוכיח כי המרחב קומפקטי. יהיו ${\displaystyle \{S_{i}\}_{i\in I}}$ סגורות כך שכל חיתוך סופי שלהם לא ריק ונראה שהחיתוך של כולם גם לא ריק. אכן, כיוון שכל חיתוך סופי שלהם לא ריק אזי קיים מסנן ולכן על מסנן ${\displaystyle F}$ שמכיל את ${\displaystyle \{S_{i}\}_{i\in I}}$ שלפי הנתון קיים לו גבול ${\displaystyle x}$. כעת, ${\displaystyle x}$ בחיתוך של כולם כי אחרת קיימת ${\displaystyle S_{i}}$ ש-${\displaystyle x}$ לא שייך אליה אזי המשלים של ${\displaystyle S_{i}}$ שנסמנו ${\displaystyle U}$ הוא סביבה פתוחה של ${\displaystyle x}$ שינו מכיל באף קבוצה של ${\displaystyle F}$ (שהרי החיתוך עם ${\displaystyle S_{i}}$ ריק + תכונת מסנן). סתירה.

תכונות של קבוצות קומפקטיות

• במרחב האוסדורף, כל קבוצה קומפקטית היא סגורה (מרחב שבו כל קבוצה קומפקטית היא סגורה נקרא מרחב-KC; כל מרחב האוסדורף הוא KC, וכל מרחב KC מקיים את תכונת ההפרדה T1).

הוכחה: תהי ${\displaystyle K}$ קבוצה קומפקטית ותהי ${\displaystyle a}$ נקודה מחוץ ל-${\displaystyle K}$. מספיק להראות שקיימת קבוצה פתוחה המכילה את ${\displaystyle a}$ וזרה ל-${\displaystyle K}$. תכונת ההפרדה ${\displaystyle T_{2}}$ מבטיחה שלכל נקודה ${\displaystyle x\in K}$ קיימות קבוצות פתוחות זרות ${\displaystyle U_{x}}$ ו- ${\displaystyle V_{x}}$, כך ש- ${\displaystyle x\in U_{x}}$ ו- ${\displaystyle a\in V_{x}}$. האוסף ${\displaystyle \{U_{x}\}_{x\in K}}$ מהווה כמובן כיסוי פתוח של ${\displaystyle K}$, ולפי הקומפקטיות יש לו תת-כיסוי סופי ${\displaystyle U_{x_{1}},\dots ,U_{x_{n}}}$. החיתוך ${\displaystyle V_{x_{1}}\cap V_{x_{2}}\cap \dots \cap V_{x_{n}}}$ הוא קבוצה פתוחה המכילה את ${\displaystyle a}$ וזרה ל-${\displaystyle K}$.

• קבוצה סגורה במרחב קומפקטי היא קומפקטית.

הוכחה: תהי ${\displaystyle K}$ סגורה במרחב ${\displaystyle X}$, ויהיה ${\displaystyle \{O_{\alpha }\}}$ כיסוי פתוח של ${\displaystyle K}$, אז ${\displaystyle \{O_{\alpha }\}\bigcup \{K^{c}\}}$ הוא כיסוי פתוח של ${\displaystyle X}$ ולכן יש לו תת-כיסוי סופי, שהוא בפרט תת-כיסוי סופי של ${\displaystyle K}$ .

מסקנה: במרחב האוסדורף קומפקטי, קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה. מתכונה זו ניתן להראות שמרחב שהוא האוסדורף קומפקטי נמצא ב"שיווי משקל" מבחינת גודל הטופולוגיה שלו. כל טופולוגיה עדינה יותר אינה קומפקטית (כי היא מכילה קבוצה סגורה שאינה קומפקטית) וכל טופולוגיה גסה יותר אינה האוסדורף (כי היא מכילה קבוצה קומפקטית שאינה סגורה).

• במרחב מטרי, כל קבוצה קומפקטית היא חסומה, ואפילו חסומה כליל.

הוכחה: נבחר נקודה ${\displaystyle x_{0}}$ כלשהי, אז הכדורים הפתוחים ${\displaystyle B(x_{0},n)}$ מהווים כיסוי פתוח של הקבוצה, שיש לו תת-כיסוי סופי.

• מרחב מטרי הוא קומפקטי אם ורק אם מתקיימות התכונות השקולות הבאות:
  • המרחב שלם וחסום כליל.
  • לכל קבוצה אינסופית יש נקודת הצטברות.
  • המרחב הוא תמונה רציפה של קבוצת קנטור (ראו פונקציית קנטור: הכללות לפרטים).
• מרחב מטרי קומפקטי הוא ספרבילי.
• מרחב שהוא קומפקטי והאוסדורף הוא גם מרחב נורמלי.
• במרחב האוסדורף, חיתוך של שתי קבוצות קומפקטיות הוא קומפקטי. (במרחב ${\displaystyle \mathbb {Z} \cup \{\pm \infty \}}$ שבו הקבוצות הפתוחות הן הקטעים ${\displaystyle [-n,n]}$ ואלו המכילות את ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, שתי הקבוצות ${\displaystyle \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$ ו-${\displaystyle \mathbb {Z} \cup \{-\infty \}}$ קומפקטיות, אבל החיתוך שלהן אינו קומפקטי).
• משפט טיכונוף אומר כי מרחב מכפלה הוא קומפקטי אם ורק אם כל רכיביו קומפקטיים.

קומפקטיות ופונקציות רציפות

המשפט היסודי בעניין זה הוא:

• תמונה רציפה של קבוצה קומפקטית היא קומפקטית.

כלומר, אם ${\displaystyle X,Y}$ מרחבים טופולוגיים ו-${\displaystyle f\colon X\to Y}$ פונקציה רציפה, ו-${\displaystyle K\subseteq X}$ קומפקטית, אז ${\displaystyle f(K)}$ קומפקטית. ההוכחה קלה מאד: אם ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ כיסוי פתוח של ${\displaystyle f(K)}$, אז ${\displaystyle \{f^{-1}(U_{\alpha })\}}$ כיסוי פתוח של ${\displaystyle K}$, ולכן יש לו תת-כיסוי סופי, שתמונתו תחת ${\displaystyle f}$ היא תת-כיסוי סופי של ${\displaystyle f(K)}$.

בפרט, פונקציה ממשית רציפה על קבוצה קומפקטית היא בעלת תמונה סגורה וחסומה, ומכאן נובעים מיד שני משפטי ויירשטראס בנוסחם הכללי:

• פונקציה ממשית רציפה על קבוצה קומפקטית מקבלת שם את המקסימום שלה.

ההכללה של משפט קנטור למרחבים מטריים קובעת כי:

• פונקציה רציפה במרחב מטרי קומפקטי, היא רציפה במידה שווה.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא קבוצה קומפקטית בוויקישיתוף

• היסטוריה של מושג הקומפקטיות
• קבוצה קומפקטית, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• קבוצה קומפקטית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. תת-כיסוי הוא כיסוי של הקבוצה בחלק מהקבוצות השייכות לכיסוי המקורי; תת-כיסוי הוא סופי אם יש בו מספר סופי של קבוצות
2. Tsaban, Boaz; ``Menger's and Hurewicz's Problems: Solutions from ``The Book and refinements, Contemporary Mathematics 533 (2011), 211-226.