קבוצה שאינה בת מנייה

בתורת הקבוצות, קבוצה שאינה בת מנייה היא קבוצה אינסופית המכילה יותר מדי איברים מכדי שניתן יהיה למנות אותם. לפיכך, לא ניתן לבצע התאמה של "אחד כנגד אחד" עם המספרים הטבעיים. במילים אחרות, אין דרך "לספור" את האיברים שלה כמו שמסופרים איברי קבוצות סופיות או אינסופיות בנות-מנייה. תכונה זו קשורה קשר הדוק לעוצמה שלה: קבוצה אינה ניתנת למנייה אם עוצמתה גדולה מאלף אפס, עוצמת המספרים הטבעיים.

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

לפי משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין לא קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת המספרים הטבעיים לקבוצה שאינה בת מנייה.

לקבוצות בלתי ניתנות למנייה יש יישומים חשובים בענפים שונים של המתמטיקה, כולל באנליזה, מטרולוגיה ובתורת הקבוצות. המושג של אי-מנייה ממלא תפקיד מהותי בהבנת הגודל והמבנה של קבוצות שונות, ויש לו השלכות עמוקות בלוגיקה מתמטית וביסודות המתמטיקה.

רקע

המושג אי-מנייה הוצג בסוף המאה ה-19 על ידי אבי תורת הקבוצות, המתמטיקאי גאורג קנטור. קנטור הראה שקבוצת המספרים הממשיים, הכוללים את כל רצף המספרים, יוצרים קבוצה בלתי ניתנת למנייה. ההוכחה של קנטור לאי-מנייה של המספרים הממשיים ידועה בשם "האלכסון של קנטור". ההוכחה בנויה על הוכחה בדרך השלילה. מניחים שניתן לרשום את המספרים הממשיים ברצף, ובונים מספר חדש השונה מכל מספר ברצף, מה שמוביל לסתירה. תוצאה זו הייתה מפתיעה באותה תקופה, שכן היא סתרה את האינטואיציה שניתן לרשום או לספור את המספרים הממשיים בדרך כלשהי. המשמעות של קיום אינסופים בגדלים שונים הייתה מהפכנית, שכן האינטואיציה אומרת שאינסוף הוא "אין-סופי", ובכך יחיד מסוגו. קנטור הראה שזה לא כך: ישנם אינסופים שונים בעוצמתם. זה הוביל להתפתחות תיאוריה מתמטית רחבה, שמכונה לעיתים "תורת הקבוצות של קנטור".

מלבד המספרים הממשיים, ישנן דוגמאות נוספות לקבוצות בלתי ניתנות למנייה, כמו קבוצת כל הפונקציות מהמספרים הממשיים למספרים הממשיים, קבוצת כל תת-הקבוצות של המספרים הממשיים, וקבוצת כל הנקודות במרחב אוקלידי.

תכונות

ישנם הרבה מאפיינים מקבילים של אי מנייה. קבוצה ${\displaystyle X}$ אינה בת מנייה אם ורק אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

• לא קיימת פונקציה חד-חד-ערכית מ־X לקבוצת המספרים הטבעיים. מכאן נובע גם כי לא קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל מ-${\displaystyle X}$ לקבוצת המספרים הטבעיים ולכן אינן שקולות עוצמה.
• ${\displaystyle X\neq \emptyset }$ ואין פונקציה על מהמספרים הטבעיים ל- ${\displaystyle X}$. כלומר, על כל סדרה ${\displaystyle a_{n}}$ של איברי הקבוצה הלא ריקה ${\displaystyle X}$, קיים לפחות איבר אחד של ${\displaystyle X}$ שאינו בסדרה.
• העוצמה של ${\displaystyle X}$ אינה סופית ואינה שווה לאלף אפס (${\displaystyle \aleph _{0}}$), עוצמת המספרים הטבעיים.
• לקבוצה ${\displaystyle X}$ יש עוצמה גדולה יותר מ־${\displaystyle \aleph _{0}}$ .

ניתן להוכיח את שלושת המאפיינים הללו כשקולים בתורת הקבוצות של צרמלו־פרנקל (אנ') ללא אקסיומת הבחירה, אך לא ניתן להוכיח את שקילותם של השלישי והרביעי ללא עקרונות בחירה נוספים.

משפט: אם ${\displaystyle X}$ קבוצה שאינה בת מנייה היא תת־קבוצה של קבוצה ${\displaystyle Y}$, אז ${\displaystyle Y}$ אינה בת מנייה.

דוגמאות

דוגמה לקבוצה שאינה בת מנייה היא ${\displaystyle \mathbb {R} }$, קבוצת המספרים הממשיים. האלכסון של קנטור מראה שאי אפשר למנות את איברי הקבוצה. ניתן להשתמש בטכניקת הלכסון גם עבור קבוצות אחרות כדי להראות שאי אפשר למנות את אבריהן, כמו קבוצת כל הסדרות האינסופיות של המספרים הטבעיים, וקבוצת כל תתי־הקבוצות של קבוצת המספרים הטבעיים (כלומר ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$, קבוצת החזקה של ${\displaystyle \mathbb {N} }$). העוצמה של ${\displaystyle \mathbb {R} }$ נקראת לעיתים קרובות עוצמת הרצף, ומסומנת באות ${\displaystyle \aleph }$, ולעיתים גם בסימונים ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ או${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ או${\displaystyle \beth _{1}}$.

קבוצת קנטור היא תת-קבוצה של ${\displaystyle \mathbb {R} }$ שאינה בת מנייה. קבוצת קנטור הוא פרקטל ובעל ממד האוסדורף גדול מאפס אבל קטן מאחת. זוהי דוגמה לעובדה הבאה: כל תת-קבוצה של ${\displaystyle \mathbb {R} }$ של ממד האוסדורף שגדול מאפס, בהכרח אינה בת מנייה.

דוגמה נוספת לקבוצה שאינה בת מנייה היא קבוצת כל הפונקציות מ-${\displaystyle \mathbb {R} }$ ל־${\displaystyle \mathbb {R} }$. קבוצה זו היא אפילו "יותר בלתי ניתנת למנייה" מאשר ${\displaystyle \mathbb {R} }$, במובן זה שעוצמתה היא ${\displaystyle \beth _{2}}$ הגדולה מ־${\displaystyle \beth _{1}}$, העוצמה של ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

דוגמה מופשטת יותר לקבוצה בלתי ניתנת למנייה היא אומגה אחת, קבוצת כל המספרים הסודרים הניתנים למנייה^[1]. העוצמה של אומגה אחת מסומנת ב־${\displaystyle \aleph _{1}}$. באמצעות אקסיומת הבחירה ניתן להראות ש־${\displaystyle \aleph _{1}}$ היא העוצמה הקטנה ביותר שאינה בת מנייה. כך גם עוצמת הממשיים, המסומנת ב־${\displaystyle \beth _{1}}$. גאורג קנטור היה הראשון שהעלה את השאלה אם מתקיים השוויון${\displaystyle \aleph _{1}=\beth _{1}}$, במה שלימים כונה "השערת הרצף". שאלה חשובה זו הוצגה בשנת 1900 על ידי דויד הילברט, כראשונה מבין 23 הבעיות שלו. לימים הוכיח קורט גדל כי לא ניתן להפריך אותה, וכ־30 שנה לאחר מכן הוכיח פול כהן שאינה תלויה באקסיומות צרמלו-פרנקל לתורת הקבוצות, כולל אקסיומת הבחירה.

ראו גם

• ב (מתמטיקה)
• אומגה אחת
• פונקציה על
• פונקציה חד-חד-ערכית
• פונקציה חד-חד-ערכית ועל

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', תורת הקבוצות - לכסונים, או למה יש אינסוף אינסופים?, באתר "לא מדויק"

הערות שוליים

1. אריק וייסשטיין, קבוצה שאינה בת מנייה, באתר וולפרם אלפא (באנגלית)