מרחב חסום לחלוטין

בטופולוגיה, מרחב מטרי שניתן לכסות במספר סופי של כדורים בכל גודל נתון נקרא מרחב חסום לחלוטין (totally bounded), או מרחב חסום כליל. כל מרחב חסום לחלוטין הוא כמובן חסום. ההפך נכון למשל עבור תת-קבוצות של המרחב האוקלידי ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}}$, אבל באופן כללי ישנם מרחבים מטריים חסומים שאינם חסומים לחלוטין. כזהו למשל הוא המרחב המטרי על קבוצת המספרים הממשיים ${\displaystyle \mathbb {R} }$ עם המטריקה הדיסקרטית, אשר בה המרחק בין כל שתי נקודות שונות הוא 1. מרחב זה הוא בוודאי חסום, מפני שכל הנקודות במרחב (המספרים הממשיים) מוכלים בכדור פתוח ברדיוס אחד וחצי סביב המספר 0 (או סביב כל מספר ממשי אחר). אבל המרחב אינו חסום כליל, וזאת מפני שאם נבחר את רדיוס הכדורים בתור חצי, אז הדרך היחידה לכסות את המרחב היא לקחת את כל הנקודות במרחב, משום שכדור ברדיוס חצי סביב הנקודה, מכיל רק את הנקודה עצמה.

בצורה פורמלית, נגדיר ${\displaystyle \epsilon }$-רשת כקבוצה של נקודות כך שכל נקודה במרחב נמצאת במרחק קטן מ-${\displaystyle \epsilon }$ מאחת מנקודות הקבוצה. מרחב מטרי הוא חסום לחלוטין אם לכל ${\displaystyle \epsilon }$ קיימת במרחב ${\displaystyle \epsilon }$-רשת סופית. אפיון אחר: מרחב מטרי הוא חסום לחלוטין אם ורק אם לכל סדרה אין סופית של איברים במרחב יש תת-סדרה שהיא סדרת קושי.

כל מרחב מטרי חסום לחלוטין הוא מרחב מנייה שנייה^[1]. מרחב מטרי הוא קומפקטי אם ורק אם הוא שלם וחסום לחלוטין.

הערות שוליים

1. Totally Bounded Metric Space is Second-Countable - ProofWiki, proofwiki.org